ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| GEOMETRIA E TOPOLOGIA DIFFERENZIALE | MAT/03 | LEZIONI | 60 |
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Lo studente dovrà maturare una solida conoscenza delle prime nozioni di geometria differenziale di curve e superfici, e delle nozioni fondamentali di topologia differenziale per varietà immerse. Dovrà inoltre conoscere i risultati fondamentali della teoria del grado in ogni dimensione e padroneggiarne alcune applicazioni (quali il teorema fondamentale dell'algebra, il teorema del punto fisso di Brower, il teorema di (non) pettinabilità delle sfere e il Teorema di Poincaré-Hopf).
The student who successfully completes the course will be able to demonstrate a solid knowledge of the elementary differential geometry of curves and surfaces in Euclidean space, as well as of the rudiments of degree theory in any dimension with applications (e.g. the Brower Fixed Point Theorem, the Hairy Ball Theorem and the Poincaré-Hopf Theorem).
Metodi:
Nell'esame scritto lo studente dovrà dimostrare conoscere i risultati fondamentali sulla geometria delle curve e delle superfici nello spazio Euclideo. Durante l'esame orale, lo studente dovrà dimostrare di avere compreso a fondo gli elementi di topologia differenziale relativi alla teoria delle varietà di dimensione generica immerse nello spazio Euclideo, con particolare riferimento alla teoria del grado e alle sue applicazioni.
Methods:
In the written test the student must demonstrate his/her knowledge of the geometry of curves and surfaces in Euclidean spac. During the oral exam the student must be able to demonstrate his/her knowledge of the general theory of manifolds embedded in Euclidean space, as well as of degree theory and its applications.
Lo studente dovrà essere in grado di determinare curvatura e torsione di curve, e i vari tipi di curvatura delle superfici immerse nello spazio Euclideo. Inoltre, dovrà essere in grado di applicare il Teorema Egregium di Gauss ed il Teorema di Gauss-Bonnet a casi specifici. Infine, dovrà essere in grado di dimostrare tutti i risultati enunciati nel corso relativi alla teoria delle varietà e alla teoria del grado, e ad applicarli a casi specifici anche non trattati a lezione.
The student must be able to compute the curvature and the torsion of a curve, and the various types of curvatures of a surface embedded in the standard Euclidean space. Moreover, he or she must be able to apply Gauss' Egregium Theorem and the theorem of Gauss-Bonnet to specific cases. He or she will also develop a good insight into the basics of differential topology: for example, he or she will learn how to apply degree theory to obtain important results such as the fundamental theorem of algebra, Brouwer's fixed point theorem, the hairy ball theorem and the Poincaré-Hopf formula, and how to use these results to solve elementary exercises.
Metodi:
Nell'esame scritto lo studente dovrà risolvere esercizi sulla geometria delle curve e delle superfici nello spazio Euclideo. mostrando di avere sviluppato le capacità sopra citate. Durante l'esame orale, lo studente dovrà dimostrare di avere compreso a fondo gli elementi di topologia differenziale relativi alla teoria delle varietà di dimensione generica immerse nello spazio Euclideo, con particolare riferimento alla teoria del grado e alle sue applicazioni; dovrà inoltre essere in grado di applicare tali risultati per risolvere brevi esercizi.
Methods:
In the written test the student must be able to solve some exercises on the geometry of curves and of surfaces in Euclidean space. During the oral exam the student must be able to discuss the reading material on degree theory and its applications thoughtfully, and he or she must also be able to solve some elementary exercises on these topics.
Lo studente dovrà sviluppare la capacità di dialogare sui contenuti del corso sia con i propri compagni sia con il docente utilizzando un linguaggio adeguato alla materia, ovvero conciso, rigoroso ed espressivo.
The student must develop the ability of discussing the reading material both with his/her mates and with the teacher using a rigorous mathematical language.
L'esame orale sarà la sede privilegiata di verifica dei comportamenti sopra citati.
The oral exam will be the best suited moment to evaluate the behaviors mentioned above.
Topologia generale. Elementi di topologia algebrica (gruppo fondamentale e rivestimenti). Calcolo in una e più variabili.
General Topology. Elements of algebraic topology (fundamental group and covering theory). Calculus of several variables.
Metodo di insegnamento
Frequenza: consigliata
Teaching methods:
Delivery: face to face
Attendance: Advised
M. P. Do Carmo, "Differential geometry of curves and surfaces"
M. Abate, F. Tovena, "curves and surfaces",
https://www.springer.com/gp/book/9788847019409
T. Shifrin, "DIFFERENTIAL GEOMETRY: A First Course in Curves and Surfaces", available at http://alpha.math.uga.edu/~shifrin/ShifrinDiffGeo.pdf
J. Milnor, "Topology from the differentiable viewpoint"
M. P. Do Carmo, "Differential geometry of curves and surfaces"
T. Shifrin, "DIFFERENTIAL GEOMETRY: A First Course in Curves and Surfaces", available at http://alpha.math.uga.edu/~shifrin/ShifrinDiffGeo.pdf
J. Milnor, "Topology from the differentiable viewpoint"
Per superare l'esame, ogni studente dovrà superare sia un esame scritto nel quale è richiesta la risoluzione di esercizi sulla geometria delle curve e delle superfici nello spazio Euclideo, sia un esame orale che verte sulla teoria generale delle varietà e sugli elementi di topologia differenziale trattati nel corso.
Every student must pass both a written examination (where he or she must solve some exercises on the geometry of curves and surfaces in Euclidean 3-space) and an oral exam about the general theory of manifolds in every dimension, and the elements of differential topology that are treated in the course.
