ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| MATEMATICHE ELEMENTARI DA UN PUNTO DI VISTA SUPERIORE: ARITMETICA | MAT/04 | LEZIONI | 48 |
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Lo studente potrà acquisire conoscenze in merito alla struttura assiomatica dei principali insiemi numerici (numeri naturali, interi, razionali, reali, complessi, quaternioni) e alla teoria elementare dei numeri.
Le conoscenze acquisite saranno valutate attraverso un elaborato scritto da redigersi in occassione dell'appello di esame.
Lo studente sarà messo nelle condizioni di comprendere la struttura assiomatica degli insiemi numerici prima menzionati e di conoscere alcuni rudimenti della teoria dei numeri.
Risoluzione di esercizi.
Lo studente acquisirà una buona sensibilità per questioni fondazionali dell'artimetica elementare.
Valutazione attraverso elaborato scritto.
Conoscenze elementari di teoria degli insiemi e di algebra.
La struttura assiomatica dei numeri naturali. Gli assiomi di Peano-Dedekind. Definizione per ricorsione. Somma e prodotto. Deduzione delle principali proprietà aritmetiche di N. Il principio del buon ordinamento. Letture dall'opera di Dedekind "Essenza e significato dei numeri".
La costruzione degli interi. L'algoritmo euclideo. Numeri primi. Il teorema fondamentale dell'artimetica (varie dimostrazioni); sue generalizzazioni all'anello degli interi dei Gauss e degli interi di Hurwitz. Impiego di tali generalizzazioni per la dimostrazione di risultati elementari di teoria dei numeri quali: il teorema dei due quadrati di Fermat e il teorema dei quattro quadrati.
Costruzioni dei numeri razionali. Le frazioni di Farey.
Costruzione dei numeri reali. Vari approcci. La costruzione di Dedekind e la costruzione di Cantor. Lettura dal pamphlet di Dedekind "Continuità e numeri irrazionali". Numeri reali e retta euclidea. Excursus storico sulle grandezze incommensurabili. Un confronto tra il V libro di Euclide e la costruzione di Dedekind.
La costruzione di Hamilton dei numeri complessi. Il corpo dei quaternioni e le rotazioni nello spazio.
S. Feferman, The number systems, AMS, 1963. Seconda edizione, 2005.
J. Stillwell, Elements of number theory, Springer, 2010.
Esame scritto che consisterà di due parti: risoluzione di esercizi e redazione di un saggio breve su una traccia assegnata.
