ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| ANALISI CONVESSA | MAT/05 | LEZIONI | 42 |
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Il corso si propone di introdurre i principali strumenti necessari per affrontare problemi di minimizzazione per funzioni convesse, definite in spazi vettoriali di dimensione eventualmente infinita. In tale ambito è interessante sia il trovare teoremi di esistenza sia caratterizzare le soluzioni mediante condizioni di tipo “differenziale”.
Verrà dunque introdotta la nozione di convessità in un ambito sufficientemente generale per potervici poi ambientare dei problemi interessanti, verranno studiate le principali proprietà degli insiemi e delle funzioni convesse (teoremi di separazione, continuità, semicontinuità, semicontinuità debole) e verrà introdotta la nozione di sottodifferenziale ∂f per una funzione convessa f (come un opportuno operatore multivoco).
Verranno poi studiate condizioni per l'esistenza di un minimo u per una funzione convessa f e l'equivalenza tra la minimalità di u e la sua stazionarietà, nel senso di 0Î∂f(u); vedremo anche come quest'ultima condizione si traduca in una cosiddetta disequazione variazionale.
Esamineremo poi la nozione di dualità nei problemi di ottimizzazione convessa e le relazioni tra i cosiddetti problema primale le problema duale. (*)
Mostreremo poi delle applicazioni della teoria svolta a problemi di esistenza di soluzioni per equazioni o disequazioni variazionali ellittiche semilineari (del tipo dell’equazione di Laplace con un termine non lineare) – vedremo vari esempi con differenti gradi di irregolarità della nonlinearità.
Toccheremo anche la teoria degli operatori massimali monotoni (generalizzazione dei sottodifferenziali delle funzioni convesse) con cui si possono trattare dei problemi non variazionali.
The aim of the course is introducing the main theoretical tools used in mimimization problems for convex functionals on vector spaces, possibly infinite dimensional ones. In this framework it is interesting to find existence theorems of minima as well as “differential” characterization of the associated minimizers.
To this purpose we will introduce the notion of convexity for functions and sets in a sufficienty general setting, we will study the main properties related to this notion (separation theorems, continuity, weak and strong lower semicontinuity), and the definition of subdifferential will be given
as a suitable multivalued operator (playing the role of the differential in the smooth case). We will also investigate the properties of the subdifferential (calculus rules, density of the domain of the subdifferential, comparison with the Gateaux derivative).
We will then show a typical existence theorem and investigate the relationship between minimality and stationarity, expressing the latter in terms of a variational inequality.
We will finally introduce the notion of conjugation, giving rise to a dual problem in convex optimization (as the conjugate of the primal one) and examine the relevance of these techniques in some examples.
Some applications of the above introduced framework will be given, mainly related to semilinear elliptic problems (e.g. the Laplace equation with a nonlinear term), with several different degrees of “nonsmoothness” for the nonlinearity.
We will finally touch (if time permits) the theory of maximal monotone operators (as a generalization of subdifferentials of l.s.c. convex functions) which allow to treat nonvariational problems.
Le verifiche si attuano nellìesame finale
Knoledges will be assessed during the final exam
Applicare le strutture teoriche apprese a problemi più concreti come a problemi di ottimizzazione, equazioni della fisica matematica ecc.
Skills coincide with the ability to apply the theoretical framework to problem of optimizations, PDE's arising in physics, etc
Le verifiche si attuano nellìesame finale
Skills will be assessed during the final exam
Sarebbe opportuno conoscere i rudimenti dell’analisi funzionale, che comunque verranno richiamati (vedi punto 2 della lista degli argomenti). Verranno inoltre utilizzati, nella parte relativa alle applicazioni, gli spazi di Sobolev di cui è necessario conoscere le principali proprietà (derivata distribuzionale, spazio W^1,2, teoremi di immersione)
The rudiments of Functional Analysis are required, although they will be recalled inside the course.
Sobolev Spaces will be used when dealing with applications (distributionl derivative, W^1,2 spaces, embedding theorems)
Lista degli argomenti
1 Convessità in dimensione finita
Funzioni convesse di una variabile.
Funzioni convesse in dimensione finita.
Coni normali e sottodifferenziali in dimensione finita.
2 Richiami di Analisi Funzionale
Spazi Vettoriali Topologici localmente convessi e seminorme.
Funzioni lineari e continue su spazi v.t.l.c.
Il Teorema di Hahn–Banach
Topologie sullo spazio duale.
3 Funzioni convesse
Funzioni convesse su uno spazio l.c.
Convessità e continuità.
Sottodifferenziale, definizione e teoremi di “calcolo”, confronto con il differenziale di Gateaux.
Il principio variazionale di Ekeland.
4 Dualità e ottimizzazione
Dualità e nozione di funzione coniugata.
Ottimizzazione, problema primale e problema duale.
Esempio nel caso dell’equazione di Laplace.
Lagrangiana e punti di sella. Un teorema di mini–massimo.
5 Operatori Massimali monotoni
Operatori multivoci.
Operatori massimali monotoni.
L’approssimante di Yoshida.
6 Applicazioni a problemi differenziali.
Integrandi normali.
Esistenza di selezioni misurabili.
Funzionali definiti mediante integrali.
Problemi semilineari liberi.
Problemi semilineari con ostacolo.
Un problema singolare.
1 Convexity in finete dimension
Convex functions of one variable.
Convex functions in N variables.
Normal cones and subdifferentials in finite dimension.
2 Some elements of Functional Analysis
Locally convex topological vector spaces and seminorms.
Linear continuous funcions on a l.c.t.v.s.
The Theorem of Hahn–Banach.
Topologies on the dual space.
3 Convex functions and sets
Convex functions on a l.c.t.v.s.
Convexity and continuity
Subdifferential: definition, subdifferential calculus, comparison with the Gateaux differential
The Ekeland Variational principle. Density of the domain of the subdifferential.
4 Duality and optimization.
Duality. Conjugate function.
Convex optimization. Dual and primal problems.
An example: the Laplace equation.
Lagrangian and saddle points. A minimax theoren.
5 Maximal monotone operators
Multi-valued operators.
Maximal monotone operators.
The Yoshida approximation.
6 Applications to differential problems
Normal integrands.
Existence of measurable selections.
Functionals defined as integrals (of a normal integrand).
Free Semilinear Elliptic Problems.
Semilinear Elliptic Problems wirh Obstacle.
A Semilinear problem with singular non l
Il libro Convex Analysis and Variational Problems di I. Ekeland e R. Temam.
La prima parte del corso, fino alla dualità, coincide con il contenuto della prima parte (pagine 1-72) di questo testo.
Oltre al libro sopracitato verranno fornite delle note che copriranno la quasi totalità degli argomenti svolti.
Convex Analysis and Variational Problems by I. Ekeland and R. Temam.
(the first part of the course, up to duality, coincides with pages 1-72 of the book)
Additional notes will be provided (covering almost all topics treated)
Prova orale
An oral exam
