Academic year2019/20
CourseMATHEMATICS
Code225AA
Credits6
PeriodSemester 2
LanguageItalian
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) |
| TEORIA GEOMETRICA DELLA MISURA | MAT/05 | LEZIONI | 42 | |
Obiettivi di apprendimento
Conoscenze
Alla fine di questo corso lo studente dovrebbe avere una solida conoscenza dei fondamenti della teoria geometrica della misura (misure di Hausdorff, caratterizzazione delle dimensioni, insiemi rettificabili) e di alcune sue applicazioni (verranno trattati uno o due dei seguneti argomenti: insiemi di perimetro finito, correnti, varifold).
Knowledge
At the end of this course the student should know the foundations of Geometric Measure Theory (Hausdorff measures, characterization of dimension, rectifiable sets) and some of its applications (one or two of the following topics will be presented in detail: finite perimeter sets, currents, varifolds).
Modalità di verifica delle conoscenze
Esame orale.
Assessment criteria of knowledge
Final oral examination.
Capacità
Alla fine del corso lo studente dovrebbe poter comprendere almeno l'introduzione di una pubblicazione sull'argomento. Dovrebbe inoltre essere in grado di completare una dimostrazione partendo da una traccia e per quanto riguarda le dimostrazioni svolte nel corso, essere in grado di aggiungere i dettagli di omessi a lezione.
Skills
At the end of the course the student should be able to understand at least the introduction of a publication on the subject. He should also be able to complete a proof starting from a sketch; concerning the proofs presented in the lectures, the student should be able to fill-in the missing technical details.
Prerequisiti (conoscenze iniziali)
I corsi standard di analisi e geometria della laurea di primo livello in Matematica a Pisa, e in particolare la teoria di base della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue. Un corso avanzato sulle basi dell'analisi funzionale, inclusa la teoria di base degli spazi di Sobolev.
Prerequisites
The standard analysis and geometry courses required for the first degree in Mathematics in Pisa, and in particular the basic theory of Measure and Integration according to Lebesgue. An advanced course on the foundations of functional analysis, including the basic theory of Sobolev spaces.
Indicazioni metodologiche
Il corso consiterà di una serie di lezioni frontali tenute in italiano o inglese, a seconda dell'audience.
Teaching methods
The course will consist of frontal lectures given in Italian or English, depending on the audience.
Programma (contenuti dell'insegnamento)
Prima parte: le basi
- Fondamenti di teoria della misura: teoremi di ricoprimento, teorema di Radon-Nikodým, misure esterne e costruzione di Caratheodory.
- Misura e dimensione di Hausdorff e loro proprietà fondamentali. Struttura delle misure con densità d-dimensionali finita e positiva. Frattali auto-simili nel senso di Hutchinson.
- Funzioni di Lipschitz, formule di area e coarea.
- Insiemi rettificabili. Spazio tangente approssimativo a un insieme rettificabile. Criteri di rettificabilità.
Seconda parte: argomenti avanzati (verranno trattati uno o due dei seguenti)
- Funzioni a variazione limitata in più variabili (BV). Insiemi di perimetro finito: definizione, proprietà di base, compattezza. Frontiera essenziale e teorema di struttura degli insiemi di perimetro finito. Regolarità di base per gli insiemi di perimetro minimo. Applicazioni: teoremi di esistenza per il problema del Plateau (in codimensione uno) e per problemi di capillarità.
- Variazione prima dell'area (per superfici regolari). Varifold rettificabili con curvatura media in L^p, teorema di regolarità di Allard.
- Correnti. Prerequisiti di algebra multi-lineare. Definizione generale di corrente, bordo, massa. Correnti normali / rettificabili / intere. Compattezza per le correnti normali. Teorema di chiusura di Federer-Fleming per le correnti intere. Strumenti: push-forward, formula di omotopia, teorema di deformazione, slicing (e dimostrazione del teorema di chiusura di Federer-Fleming).
Syllabus
First part: the basics
- Basics of measure theory: covering theorems, Radon-Nikodým theorem, external measures and Caratheodory construction.
- Hausdorff measure and dimension, and their fundamental properties. Structure of measures with finite and positive d-dimensional densities. Hutchinson's self-similar fractals.
- Lipschitz functions, area and coarea formula
- Rectifiable sets. Approximate tangent to a rectifiable set. Rectifiability criteria.
Second part: advanced topics (one or two of the following)
- Functions of bounded variation in several variables (BV). Finite perimeter sets, definition, basic properties, compactness. Essential boundary and structure of the derivative of finite perimeter sets. Basic regularity for minimal perimeter sets. Applications: existence theorems for the Plateau problem (in codimension one), for capillarity problems, for minimal clusters.
- First variation of the area (for smooth surfaces). Rectifiable varifolds with mean curvature in L^p, Allard regularity theorem.
- Currents. Prerequisites from multi-linear algebra. General definition of a current, boundary, mass. Normal / rectifiable / integral currents. Compactness for normal currents. Federer-Fleming closure theorem for integral currents. Tools: push-forward, homothopy formula, deformation theorem, slicing (and proof of Federer-Fleming closure theorem).
Bibliografia e materiale didattico
- K. Falconer: The geometry of fractal sets. Cambridge University Press, 1985.
- P. Mattila: Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge University Press, 1995.
- L. Ambrosio, N. Fusco, D. Pallara: Functions of bounded variation and free discontinuity problems. Oxford University Press, 2000.
- L. Simon: Lectures on Geometric Measure Theory. Proccedings of the Centre for Mathema-
tical Analysis, vol. 3. Australian National University, 1983.
- S.G. Krantz, H.R. Parks: Geometric Integration Theory. Cornerstones. Birkhäuser, Boston 2008.
Bibliography
- K. Falconer: The geometry of fractal sets. Cambridge University Press, 1985.
- P. Mattila: Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge University Press, 1995.
- L. Ambrosio, N. Fusco, D. Pallara: Functions of bounded variation and free discontinuity problems. Oxford University Press, 2000.
- L. Simon: Lectures on Geometric Measure Theory. Proccedings of the Centre for Mathema-
tical Analysis, vol. 3. Australian National University, 1983.
- S.G. Krantz, H.R. Parks: Geometric Integration Theory. Cornerstones. Birkhäuser, Boston 2008.
Modalità d'esame
L'esame finale si divide in due parti: un seminario preparato dallo studente su un argomento proposto dal docente e un esame orale standard.
Assessment methods
The final exam consists of two parts: a seminar prepared by the student on a topic proposed by the teacher, and a standard oral examintation.
Altri riferimenti web
Pagina web del docente: http://pagine.dm.unipi.it/alberti/didattica/didattica.html
Additional web pages
Webpage of the teacher: http://pagine.dm.unipi.it/alberti/didattica/didattica.html
Updated: 05/08/2019 16:52
