ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| ISTITUZIONI DI PROBABILITA' | MAT/06 | LEZIONI | 63 |
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Lo studente al termine del corso avrà acquisito conoscenze di base di processi stocastici e calcolo stocastico, in particolare processi Gaussiani e di Markov, processo di Poisson e moto Browniano, martingale, intregrale stocastico, formula di Ito e cenni di equazioni differenziali stocastiche.
Students are expected to acquire: basic knowledge of stochastic procesess and stochastic calculus, in particular Gaussian and Markov processes, Brownian motion and Poisson process, Martingales, stochastic integrals, Ito formula and elements of stochastic differential equations.
Lo studente sarà valutato riguardo la sua abilità di risolvere esercizi su processi stocastici e calcolo stocastico, di formulare i risultati più importanti del corso e saperli dimostrare, di discutere i concetti principali esaminati durante le lezioni.
The student will be assessed on his/her demonstrated ability to solve exercises on stochastic processes and stochastic calculus, to give precise statements and proofs of the main results and to discuss the concepts given in the lectures.
Al termine del corso lo studente sarà in grado di comprendere argomenti avanzati di probabilità e analisi stocastica e argomenti di matematica applicata dove l'analisi stocastica è strumento essenziale. Lo studente sarà inoltre in grado di impostare e risolvere semplici problemi relativi a tali argomenti.
At the end of the course the student wil be able to understand advanced topics in probability and stochastic analysis, and topics of applied mathematics where stochastic analysis is a basic tool. Moreover, the student will be able to solve simple problems on such topics.
Nella prova scritta sarà verificata la capacità dello studente di risolvere semplici problemi. Nella prova orale sarà verificata la capacità di comprensione e di elaborazione degli argomenti analizzati.
The capacity to solve simple problems will be the subject of the written exam. The capacity of understanding and elaborating the topics of the course will be the subject of the oral exam.
Il corso permetterà di affrontare problemi complessi di natura probabilistica.
The student will be able to manage complex problem of probabilistic nature
Nel corso degli esami agli studenti sarà richiesto di suggerire soluzioni a semplici problemi e a fornire esempi dei concetti principali del corso.
During the exams the student wil be asked to suggest a solution to simple problems and provide examples of the main ideas of the course.
Lo studente deve avere padronanza sia degli argomenti di base della probabilità (probabilità, variabili aleatorie, etc), sia di argomenti più avanzati quali teoremi limite, teoria della misura applicata alla probabilità.
The student should master both the basic arguments of probability (such as basic probability, random variables, etc)and some more andvanced topics such as measure theory (with a view on probability), limit theorems.
Il corso prevede lezioni frontali sia per la parte teorica che per la parte di esercizi. La frequenza è consigliata. Ci si aspetta che lo studente frequenti le lezioni e a questo affianchi un tempo sufficiente per lo studio individuale.
The course is delivered face-to-face for both the theoretical part and for the exercise sessions. Attendance is highly recommended. The student is expected to attend lectures and devote a sufficient amount of time to individual study.
Introduzione ai Processi Stocastici. Nozioni di base sui processi stocastici. Filtrazioni, processi adattati, progressiva misurabilità, tempi di arresto. Costruzione di processi: teorema di estensione di Kolmogorov. Esempi: processi gaussiani. Richiami e approfondimenti sulle probabilità condizionali e sulla speranza condizionale. Definizione di proprietà di Markov, esempi, riformulazioni e criteri.
Elementi di teoria delle martingale. Definizioni di martingala, super e sub-martingala. Tempi d’arresto. Martingale tempo discreto: teoremi d’arresto, disuguaglianze di Doob, risultati di convergenza. Decomposizione di Doob-Meyer. Martingale a tempo continuo: generalizzazione di alcuni dei risultati precedenti. Variazione quadratica, semimartingale.
Moto Browniano e processo di Poisson. Richiami sul moto Browniano, cenni sulle costruzioni, proprietà principali, regolarità delle traiettorie, proprietà di Markov, principio di riflessione, zeri del moto Browniano, moto Browniano e equazioni alle derivate parziali. Richiami sul processo di Poisson.
Integrale stocastico secondo Itō. Costruzione dell’integrale stocastico nel caso del moto Browniano e di processi adattati di quadrato integrabile. Proprietà dell’integrale. Generalizzazione a processi adattati a quadrato non integrabile. Applicazione dei risultati sulle martingale. Cenni sull’integrale di Stratonovich e sull’integrale rispetto a processi di Poisson.
Formula di Itō. Formula di Itō. Applicazioni: caratterizzazione di Lévy del moto Browniano, teorema di Girsanov, proprietà di rappresentazione delle martingale, moto Browniano e equazioni alle derivate parziali.
Equazioni differenziali stocastiche. Nozioni di esistenza ed unicità. Equazioni con rumore additivo. Teorema di esistenza ed unicità nel caso generale con coefficienti Lipschitz. Teoremi di esistenza di soluzioni deboli con ipotesi più deboli sui coefficienti. Legami tra equazioni differenziali stocastiche ed equazione di Fokker-Planck, di Kolmogorov, problema di Dirichlet.
Introduction to stochastic processes. Basic notions on stochastic processes. Filtrations, adapted processes, progressive measurability, stopping time. Construction of processes: Kolmogorov extension theorem. Examples: Gaussian processes. Essentials on conditional probabilities and conditional expectation. Markov property: definition, examples.
Theory of martingales. Definition of martingale, sub-martingale and super-martingale. Stopping times. Discrete time martingales: optional stopping theorems, Doob inequalities, convergence results. Dob-Meyer decomposition. Continuous time martingales: generalization of some of the previous results. Quadratic variation, semi-martingales.
Brownian motion and Poisson process. Brownian motion: definition, construction, main properties, regularity of paths, Markov propertty and reflection principle, zeroes of Brownian motion, Brownian motion and partial differential equations. Poisson process.
Itō stochastic integral. Construction of the stochastic integral with respect to the Brownian motion of square integrable adapted processes. Properties of the integral. Generalization to a larger class of adapted processes. Stochastic integral and martingale properties. Stratonovich integral and integral with respect to the Poisson process.
Itō formula. Itō formula. Applications: Lévy characterization of Brownian motion, Girsanov theorem, martingale representartion theorem, Brownian motion and partial differential equations.
Stochastic differential equations. Strong and weak notions of existence and uniqueness. Equations with additive noise. Existence and uniqueness of a strong solution with Lipschitz coefficients. Existence of weak solutions with bounded measurable drift. Conections between stochastic equations and Fokker-Planck equation, Kolmogorov equation, Dirichlet problem.
L'esame è composto da una prova scritta e una prova orale. La prova scritta può essere eventualmente rimpiazzata dalle prove intermedie svolte durante il corso.
La prova scritta consiste nella risoluzione di 3-4 problemi, sviluppati su più quesiti, in forma dimostrativa.
La prova orale consiste in un colloquio che prevede tipicamente tre domande, volte a verificare la conoscenza dei risultati illustrati nel corso e delle loro dimostrazioni, dei concetti e delle definizioni principali, e la padronanza di tali concetti attraverso esempi illustrativi.
Modalità eccezionali per gli appelli estivi (Giugno, Luglio): la prova scrittà si svolgerà con le stesse modalità previste, ma sarà svolta a casa dai candidati. La prova orale sarà svolta mediante un colloquio telematico sulla stessa riunione Meet usata per le lezioni.
The exam is divided in two parts: written and oral exam. The written exam can be possibly replaced by the in-course written exams.
The written exam consists in solving, with proofs, 3-4 problems.
The oral exam consists tipically in three questions. The first regards the knowledge of the main results of the course and their proof. The second regards the knowledge of the main definitions ans concepts, the third wishes to verify the mastery of the main concepts through suitable examples.
Exceptional assessment methods for the summer exam sessions (June and July): the written exam will be held as described above, but the candidate will prepare her/his exam at home. The oral exam will be done through a online interview on the same Meet URL used for lectures.
