ECTS - University of Pisa
MODULO DI ALGEBRA LINEARE:
Aree di base:
sistemi lineari
spazi euclidei reali e complessi
Aree caratterizzanti:
teoria degli spazi vettoriali, dell'indipendenza e della dimensione
teoria spettrale elementare
Aree affini:
la geometria analitica e i vettori
MODULO DI ANALISI MATEMATICA II:
Aree di base:
continuita`, limiti, derivate e integrali per funzioni fra spazi euclidei
Aree caratterizzanti:
differenziabilita`
estremi locali liberi e vincolati
Integrabilita` e potenziali di campi e forme
curve regolari, rettificabilita`, lunghezza e integrali curvilinei
superficie regolari, vettore normale, area e integrali superficiali
Aree affini:
problemi geometrici e fisici alla base della teoria
The student who successfully completes the course will have a working knowledge of the main tools in linear algebra (linear systems, matrices, eigenvalues, analytic geometry) and in the differential and integral calculus for functions of several real variables (max/min problems, integrals in 2d and 3d, integrals over curves and surfaces).
le due prove orali vertono sulla verifica delle conoscenze relative ai due moduli.
In the multiple choice test (30 minutes, 16 questions) the student must demonstrate his/her knowledge of the basic course contents and prerequisites. In the written exam (3 hours, 4 problems), the student must demonstrate his/her ability to approach and solve standard problems requiring the tools presented in the course. Solutions are presented in written form. Correctness and clarity of solutions will be assessed. During the oral exam the student's ability to explain correctly the main topics presented during the course at the board will be assessed.
Methods:
MODULO DI ALGEBRA LINEARE:
risolvere sistemi lineari generali, con applicazioni ai problemi dell'algebra lineare negli spazi euclidei
eseguire operazioni con vettori euclidei e matrici, sia attraverso le componenti scalari, sia in forma compatta; familiarita` con le notazioni vettoriali e matriciali;
utilizzare lo spazio vettoriale euclideo come modello di sistemi complessi e, in particolare, come ambiente alternativo alla geometria analitica classica per la risoluzione di problemi geometrici e meccanici;
MODULO DI ANALISI MATEMATICA II:
uso delle funzioni fra spazi euclidei come modelli di curve e superficie; sistemi di coordinate differenti;
calcolo di derivate (velocita`, gradiente, jacobiana) e differenziali per tutte le funzioni fra spazi euclidei di ogni dimensione;
determinazione di massimi e minimi liberi e vincolati;
applicazione dei teoremi della funzione implicita alla risolubilita` locale di un insieme di equazionil
Stabilire l'integrabilita` di un campo vettoriale (o di una forma differenziale) e calcolarne tutte le primitive;
calcolo di lunghezza ed integrali curvilinei di funzioni su curve parametriche;
calcolo di integrali multipli;
calcolo del piano tangente e del vettore normale ad una superficie parametrica regolare; calcolo di area e integrali superficiali di una funzione su una superficie.
le due prove scritte, relative ai due moduli, hanno come obiettivo la verifica del livello raggiunto nelle capacita` richieste per superare l'esame.
COMUNI AI DUE MODULI:
acquisire familiarita' con i concetti e le notazioni dell'algebra e dell'analisi, tanto come modelli quanto come strumenti di calcolo.
Le prove d'esame (scritte ed orali) di entrambi i moduli forniscono una valutazione diretta del grado di familiarita` acquisito.
Per il modulo di Algebra: trigonometria elementare; geometria analitica elementare (equazione della retta e delle coniche in forma canonica); generalita` sull'uso dei vettori geometrici;
Per il modulo di Analisi Matematica II: Analisi Matematica I (limiti, continuita`, derivate, integrali per funzioni di una variabile) e Algebra Lineare (spazio euclideo R^n, prodotto scalare e norma, matrici, applicazioni lineari fra spazi euclidei, teoria spettrale elementare, forme quadratiche).
Delivery: face to face
Learning activities:
Attendance: Advised
Teaching methods:
Modulo di Algebra Lineare:
I sistemi lineari: teoria e risoluzione: algoritmi di Gauss, di Gauss-Jordan.
Gli spazi euclidei reali e complessi: operazioni su vettori, norma e prodotto scalare (o hermitiano), sottospazi; proiezione.
L'algebra delle matrici: tipo, operazioni, matrici speciali. Struttura generale delle applicazioni lineari fra spazi euclidei.
Indipendenza, basi, dimensione. Teorema di Grassmann sui sottospazi.
Applicazioni lineari: proprieta` generali. Nucleo, immagine e loro dimensioni.
Determinanti e loro proprieta`.
Teoria spettrale: diagonalizzabilita`, autovalori, autovettori e autospazi. Criteri di diagonalizzabilita`.
Teoria spettrale per matrici autoaggiunte.
Classificazione delle forme quadratiche e studio del loro segno.
MODULO DI ANALISI MATEMATICA II:
successioni e funzioni in spazi euclidei: convergenza, continuita`, e limiti; principali risultati; il teorema fondamentale dell'algebra; il teorema di esistenza degli zeri e la connessione (per archi);
calcolo differenziale in piu` variabili: derivate direzionali, condizione per gli estremi interni, differenziabilita`, rappresentazione del differenziale e matrice jacobiana, vettori, rette e piani tangenti a curve, superficie e a grafici di funzioni.
Teorema della funzione implicita per funzioni e sistemi: teorema di inversione locale.
Campi di vettori e forme differenziali: condizioni di integrabilita` e calcolo delle primitive.
Rettificabilita`, lunghezza e integrale curvilineo di una funzione su una curva parametrica.
Integrali multipli: formule di riduzione (teoremi di Fubini e Tonelli), cambio di variabili ed integrazione per parti (formula di Gauss-Green-Ostrogradskij).
Superficie parametriche regolari, area e integrali superficiali.
Vector spaces, linear dependence, generators and bases, dimension, subspaces. Linear systems and affine subspaces. Parametric and Cartesian equations of an affine subspace. Linear maps and matrices, kernel and image, change of basis. Determinants, Binet's theorem, inverse matrix, rank. Eigenvalues and eigenvectors. Diagonalization of symmetric and Hermitian matrices. Differential calculus in several variables. Limits, continuity, partial and directional derivatives, differential, gradient. Jacobian matrix. Higher order derivatives. Taylor's formula. Extrema with and without constraints. Integral calculus in several variables. Riemann integration. Reduction formula. Change of variable formula. Area and volume computation. Generalized integrals. Vector calculus. Parametric curves and curvilinear integrals. Vector fields and linear differential forms. Integration on closed paths. Conservative fields and exact forms. Surface integrals. Gauss-Green and Stokes theorems.
Dispense del titolare del corso, scaricabili liberamente dal sito http://pagine.dm.unipi.it/alan.
Per approfondimenti:
Enrico Giusti: Analisi Matematica 2 ed. Boringhieri
S. Lang: Algebra Lineare Ed. Boringhieri
Students are highly recommended to read the course notes prepared by the teacher (a printout of the lectures) which can be easily downloaded from the teacher's home page. For the analysis part, also the following textbook are suggested: Bramanti, Pagani, Salsa, Analisi II, Zanichelli Barutello, Conti, Ferrario, Terracini, Verzini, Analisi II, Apogeo Students are also highly recommended to work on the suggested exercises. For the mathematical analysis section of the course, theory and exercises can be found in the following textbooks: M.Ghisi, M.Gobbino - Schede di Analisi Matematica - Edizioni Esculapio M.Ghisi, M.Gobbino - Esercizi di Analisi Matematica II (Parte A) - Edizioni Esculapio Further bibliography, especially for the linear algebra section, will be indicated.
prova in itinere scritta per il modulo di Algebra Lineare: 11 domande a risposta multipla (min. 6 risposte esatte per l'ammissione all'orale)
prova in itinere orale per il modulo di Algebra Lineare, da sostenersi nello stesso appello della prova scritta se non si sostiene anche l'esame d'Analisi Matematica II nello stesso appello.
esame finale scritto di Analisi Matematica II: 9 domande a risposta multipla (min. 5 risposte esatte per l'ammissione all'orale)
esame finale orale di Analisi Matematica II, da sostenersi nello stesso appello del'esame scritto se non si sostengono anche le prove d'Algebra Lineare nello stesso appello.
E` possibile sostenere in appelli diversi della stessa sessione gli scritti e gli orali solo se si sostengono gli esami dei due moduli di Algebra e di Analisi contemporaneamente.
