ECTS - University of Pisa
Il programma del corso.
Esame scritto e orale.
Risolvere gli esercizi intermedi e quelli di esame.
Correzione degli esercizi svolti.
Non disturbare in classe.
Nessuna.
Nessuno.
Propriet\`a dei numeri naturali. Assioma di buon ordinamento e
principio di induzione.
Elementi di calcolo combinatorio: permutazioni, combinazioni,
principio di inclusione-esclusione.
Numeri interi: divisione euclidea, divisibilit\`a, massimo comune
divisore e minimo comune multiplo, algoritmo di Euclide. Numeri
primi, teorema di fattorizzazione unica. Piccolo teorema di Fermat
e funzione di Eulero.
Congruenze. Teorema cinese del resto. Equazioni e sistemi di
congruenze, equazioni diofantee di primo grado. Relazioni di
equivalenza e insiemi quoziente. Struttura delle classi resto.
Gruppi e sottogruppi, gruppi abeliani e gruppi ciclici. Ordine di
un elemento di un gruppo. Sottogruppi dei gruppi ciclici.
Omomorfismi di gruppi. Classi laterali, sottogruppi normali e
gruppo quoziente. Teorema di omomorfismo. Corrispomndenza fra
i sottogruppi di un gruppo e quelli di un suo quoziente.
Congruenze di secondo grado e congruenze esponenziali.
Numeri complessi: operazioni fondamentali e calcolo delle radici
ennesime.
Polinomi a coefficienti razionali, reali e complessi, e nei campi
con un numero primo di elementi. Proprieta' del grado e divisione
euclidea. Teorema di Ruffini. Polinomi irriducibili e
fattorizzazione unica. Fattorizzazione di polinomi. Criterio di
Eisentein. Radici multiple dei polinomi e criterio della derivata.
Anelli euclidei, anello degli interi di Gauss. Anelli PID.
Numeri algebrici e numeri trascendenti. Polinomio minimo di un elemento algebrico su un campo. Estensioni algebriche semplici.
Torri di estensioni, formula dei gradi. Campo di spezzamento di un
polinomio. Campi finiti. Campo di spezzamento del polinomio $X^n-1$
sui campi finiti.
TESTI DI RIFERIMENTO :
Dispense del corso.
I.N. Herstein, Algebra, Editori Riuniti
P. Di Martino (con la revisione di R. Dvornicich), Algebra,
Edizioni Plus, Universit\`a di Pisa
R.Chirivi', I. Del Corso, R.Dvornicich - Esercizi scelti di Algebra (vol 1) - Springer Italia.
Cercare gli esercizi sulla pagina web.
Esame scritto ed orale.
