ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| ELEMENTI DI ANALISI COMPLESSA | MAT/03 | LEZIONI | 48 |
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Lo studente conoscerà i risultati principali dell'analisi complessa di una variabile, dai teoremi sulle successioni di funzioni olomorfe al teorema di uniformizzazione di Riemann, dai teoremi di Runge sull'approssimazione di funzioni olomorfe ai teoremi di Weierstrass e Mittag-Leffler sulla costruzione di funzioni globali a partire da dati locali. Inoltre lo studente conoscerà le basi dell'analisi complessa di più variabili.
The student will know the main results in complex analysis of one variable, from theorems on sequences of holomorphic functions to the Riemann uniformizatin theorem, from Runge theorems on the approximation of holomorphic functions to Weierstrass and Mittag-Leffler theorems on the construction of global functions starting from local data. Furthermore the student will know basic ideas in the complex analysis of several variables.
La verifica dell'acquisizione delle conoscenze avverrà tramite l'esposizione orale di argomenti trattati nel corso o vicini ad argomenti trattati nel corso, esposizione che lo studente dovrà fare nell'esame orale.
Methods:
Saper dimostrare teoremi di analisi complessa di bassa e media difficoltà.
To be able to prove theorems in complex analysis of low and medium difficulty.
L'esame orale finale comprenderà anche la presentazione di dimostrazioni di teoremi di analisi complessa, in modo da verificare le abilità dimostrative acquisite dallo studente.
Methods:
Lo studente affinerà ulteriormente le proprie abilità nel seguire, verificare ed elaborare autonomamente ragionamenti matematici di media difficoltà, in particolare nel campo dell'analisi complessa.
The student will better his/her own abilities in understanding, verifying and creating mathematical arguments of a medium level of difficulty, particularly in the field of complex analysis.
Tramite gli interventi in classe e la presentazione di un seminario finale su un argomento affine a quelli trattati.
Via class discussions and a final talk by the student on a topic similar to the ones treated in class.
Analisi Matematica in una e più variabili. Topologia. Gruppo fondamentale. Le basi di analisi complessa in una variabile.
Mathematical Analysis in one and several variables. Topology. The fundamental group. Basics of complex analysis in one variable.
Erogazione: frontale
Attività di studio:
Frequenza: non obbligatoria
Metodi didattici: lezioni
Delivery: face to face
Learning activities:
Attendance: Not mandatory
Teaching methods:
Complementi di analisi di una variabile complessa: Topologia compatta-aperta e topologia della convergenza uniforme sui compatti. Convergenza di successioni di funzioni olomorfe (Teorema di Weierstrass). Compattezza nello spazio delle funzioni olomorfe (Teorema di Stieltjes-Osgood-Montel; Teorema di Vitali). Teoremi di Hurwitz. Lemma di Schwarz. Automorfismi del disco unitario, del semipiano, del piano complesso, della sfera di Riemann. Distanza di Poincaré. Teorema di Wolff-Denjoy. Teorema di uniformizzazione di Riemann. Teoremi di Runge sull'approssimazione di funzioni olomorfe, con applicazioni. Teoremi di Mittag-Leffler e di Weierstrass sulla costruzione di funzioni globali a partire da dati locali.
Introduzione all'analisi di più variabili complesse:
Definizione ed esempi. Condizioni di Cauchy-Riemann e conseguenze. Principio del prolungamento analitico. Formula integrale di Cauchy. Disuguaglianze di Cauchy. Principio del massimo. Teoremi di Weierstrass, Montel e Vitali. Teorema di estensione di Riemann. Teorema di estensione di Hartogs. Domini di olomorfia. Domini convessi e pseudoconvessi. Problema di Levi. L'algebra delle serie convergenti. Il teorema di preparazione di Weierstrass. Il teorema di divisione.
Complements of complex analysis in one variable: compact-open topology and topology of the uniform convergence on compact sets. Convergence of sequences of holomorphic functions (Weierstrass theorem). Compactness in the space of holomorphic functions (Stieltjes-Osgood-Montel theorem; Vitali theorem). Hurwitz theorems. Schwarz lemma. Automorphisms of the unit disk, of the half-plane, of the complex plane, of the Riemann sphere. Poincaré distance. Wolff-Denjoy theorem. Riemann uniformizatin theorem. Runge theorems on the approximation of holomorphic functions; applications. Mittag-Leffler and Weierstrass theorems on the construction of global functions starting from local data.
Introduction to the complex analysis in several variables: Definitions and examples. Cauchy-Riemann conditions and consequences. Analytic continuation principle. Cauchy integral formula. Cauchy inequalities. Maximum principle. Weierstrass, Montel and Vitali theorems. Riemann extension theorem. Hartogs extension theorem. Domains of holomorphy. Convex and pseudoconvex domains. Levi problem. The algebra of converging series. Weierstrass preparation theorem. Division theorem.
R. Narasimhan: Complex analysis in one variable, Birkhäuser
W. Rudin: Real and complex analysis, McGraw-Hill
R. Narasimhan: Several complex variables, University of Chicago Press
S.G. Krantz: Function theory of several complex variables, Wiley
R.C. Gunning, H. Rossi: Analytic functions of several complex variables, Prentice-Hall
Note del docente su una variabile complessa
R. Narasimhan: Complex analysis in one variable, Birkhäuser
W. Rudin: Real and complex analysis, McGraw-Hill
R. Narasimhan: Several complex variables, University of Chicago Press
S.G. Krantz: Function theory of several complex variables, Wiley
R.C. Gunning, H. Rossi: Analytic functions of several complex variables, Prentice-Hall
Handouts on one complex variable.
Esame orale finale con svolgimento di breve seminario su un argomento a scelta dello studente fra una dozzina di temi proposti dal cocente.
Final oral exam consisting in a talk given by the student on a topic chosen among a dozen proposed by the professor.
