ECTS - University of Pisa
Il corso si prefigge di fornire le basi della teoria delle forme modulari.
By the end of the course, students will have acquired knowledge about the basic theory of modular forms.
La verifica dell'acquisizione delle conoscenze avverrà attraverso l'esame finale e la discussione degli esercizi proposti durante l'anno.
Progress will be assessed through the final exam, which can include a discussion of the exercises set during the course.
A fine corso lo studente sarà in grado di risolvere esercizi riguardanti le forme modulari e applicare la teoria delle forme modulari alla soluzione di alcuni problemi di teoria dei numeri.
By the end of the course, students will know how to solve problems involving modular forms and will be able to apply the theory they learned to questions in number theory.
Saranno forniti degli esercizi durante l'anno dei quali verrà discussa in classe la soluzione.
Problem sets will be made available throughout the course. Solutions to selected problems will be discussed in class.
Non ci si aspetta che la frequentazione del corso conduca a particolari comportamenti.
The course is not expected to lead to any new behaviours.
I docenti non intendono verificare questo aspetto.
Behaviours will not be assessed.
Elementi di teoria dei gruppi, funzioni olomorfe. E` di aiuto la conoscenza della teoria delle superfici di Riemann.
Basic group theory, holomorphic functions. Some familiarity with the theory of Riemann surfaces could be helpful.
* Il gruppo modulare SL_2(Z). Forme modulari classiche, espansioni di Fourier. Peso di una forma modulare. Esempi: serie di Eisenstein, la forma modulare discriminante. Le forme modulari di peso arbitrario formano un'algebra polinomiale nelle variabili E_4, E_6.
* Esempi classici: funzioni theta di reticoli. Rappresentazione di interi come somme di quadrati.
* Generalizzazione ad altri sottogruppi di congruenza ed interpretazione geometrica.
* Operatori di Hecke, relazioni di ricorrenza. Proprietà della funzione tau di Ramanujan. Prodotto scalare di Petersson. Autovettori simultanei degli operatori di Hecke.
* Funzione L di una forma modulare, equazione funzionale nel caso cuspidale e prodotto di Eulero nel caso di autovettore simultaneo per gli operatori di Hecke.
* Sviluppi moderni.
* The modular group SL_2(Z). Classical modular forms, Fourier expansions. Weight of a modular form. Examples: Eisenstein series, the discriminant. Modular forms of arbitrary weight form a polynomial algebra in the variables E_4, E_6
* Classical examples: theta series associated with plane lattices. Representations of integers as sums of squares.
* Generalisation to congruence subgroups of SL_2(Z). Geometric interpretation.
* Hecke operators, recurrence relations. Properties of Ramanujan's tau function. The Petersson inner product. Simultaneous eigenvectors for the Hecke operators ("eigenforms").
* L-functions attached to modular forms. Functional equation in the cuspidal case. Euler product decomposition of the L-function attached to an eigenform.
* Modern developments.
Fred Diamond, Jerry Shurman, A First Course in Modular Forms
Daniel Bump, Automorphic forms and representations
Fred Diamond, Jerry Shurman, A First Course in Modular Forms
Daniel Bump, Automorphic forms and representations
L'esame consiste in un colloquio tra il candidato e i docenti. Durante la prova orale potrà essere richiesto al candidato di risolvere anche esercizi.
The exam consists of an interview between the candidate and the lecturers. During the oral test, the candidate could be requested to also solve some exercises.
