PRINCIPLES OF MATHEMATICAL PHYSICS
GIOVANNI FEDERICO GRONCHI
Academic year2020/21
CourseMATHEMATICS
Code137AA
Credits9
PeriodSemester 1
LanguageItalian
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) |
| ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA | MAT/07 | LEZIONI | 63 | |
Obiettivi di apprendimento
Conoscenze
Il corso si propone di introdurre degli argomenti fondamentali della Fisica Matematica, con particolare riferimento ai Principi variazionali della Meccanica, alla Meccanica Hamiltoniana e alla teoria delle perturbazioni.
Knowledge
The purpose of this course is to introduct some fundamental topics of Mathematical Physics, with particular reference to the variational principles of Mechanics, Hamiltonian Mechanics and perturbation theory.
Modalità di verifica delle conoscenze
La verifica delle conoscenze sarà oggetto della valutazione dell'elaborato scritto previsto all'inizio di ogni sessione d'esame. Tale verifica proseguira' nella prova orale successiva per gli studenti ammessi a sostenerla.
Assessment criteria of knowledge
The checking of the knowledge will be done by evaluating the written exam that will be done at the beginning of each exam session. This check will continue in the following oral exam for the students admitted to it.
Capacità
Lo studente sara' in grado di analizzare alcune equazioni fondamentali della Fisica Matematica, in particolare i sistemi hamiltoniani integrabili e le loro perturbazioni.
Skills
The student will be able to analyze some fundamental equations of Mathematical Physics, in particular integrable Hamiltonian systems and perturbations of them.
Modalità di verifica delle capacità
Durante il corso, saranno svolte diverse esercitazioni con l'obiettivo di mostrare agli studenti diversi esempi di sistemi hamiltoniani che nascono anche dalla modellizzazione di sistemi meccanici.
Assessment criteria of skills
During the course, several exercise sessions will be done, with the aim to show to the students different examples of Hamiltonian systems also originating from the modellization of mechanical systems.
Comportamenti
Lo studente potrà acquisire e sviluppare tecniche di analisi di problemi fisici.
Behaviors
The student will be able to acquire and develop techniques of analysis for physical problems.
Modalità di verifica dei comportamenti
Durante le esercitazioni gli studenti saranno frequentemente interpellati e saranno anche invitati a svolgere alcuni esercizi.
Assessment criteria of behaviors
During the exercise sessions the students will be frequently involved and they will be also asked to solve some exercises.
Prerequisiti (conoscenze iniziali)
Non sono richieste conoscenze approfondite, ma una preparazione di base fornita dalle materie della laurea triennale.
Prerequisites
No particular knowledge is required, apart from a general mathematical background given from the courses of the first three years.
Programma (contenuti dell'insegnamento)
Principi variazionali della Meccanica:
- preliminari di calcolo delle variazioni: funzionali, spazi di funzioni, variazione prima, funzionale di azione lagrangiana;
- principio di Hamilton, equazioni di Eulero-Lagrange, lagrangiane equivalenti, invarianza per cambiamento di coordinate;
- Principio di Maupertuis, metrica di Jacobi, dinamica e geodetiche;
- variazione seconda, condizioni sufficienti per un minimo debole e forte: punti coniugati, condizioni di Legendre e di Jacobi, campi di estremali.
Meccanica hamiltoniana:
- trasformata di Legendre, equazioni di Hamilton
- trasformazioni canoniche dipendenti e indipendenti dal tempo
Sistemi hamiltoniani integrabili:
- integrali primi e parentesi di Poisson
- parentesi di Lie di campi vettoriali, commutazione di campi e di flussi
- Simmetrie e integrali primi: teorema di Noether.
- Equazione di Hamilton-Jacobi: dualismo tra meccanica ed ottica geometrica, il metodo delle caratteristiche e la relazione tra le equazioni di Hamilton e l’equazione di Hamilton-Jacobi
- Separazione delle variabili, esempi: problema dei 2 centri fissi, problema di Keplero accelerato. Teorema di Liouville-Arnold, variabili azione-angolo, esempi classici
Teoria hamiltoniana delle perturbazioni:
- principio della media
- metodo di Lie, equazione omologica e piccoli divisori
- forme normali
- invarianti adiabatici
- cenno alla teoria KAM
Syllabus
Variational Principles of Mechanics:
- preliminaries of calculus of variations: functionals, functional spaces, first variation, second variation
- conjugate points, extremal fields, Legendre and Jacobi conditions for a minimum
- Lagrangian action functional, Hamilton's principle, Euler-Lagrange equations, equivalent Lagrangians, invariance by coordinate change. Maupertuis' principle, Jacobi metric, dynamics and geodesics
Hamiltonian Mechanics:
- Legendre transform, Hamilton's equations
- canonical transformations, depending on time or not
Integrable Hamiltonian systems:
- first integrals and Poisson's parentheses
- Lie's parentheses of vector fields, commutation of vector fields and of flows
- symmetries and first integrals: Noether's theorem. Highlights on symmetries in field theory
- Hamilton-Jacobi equation: dualism between Mechanics and Geometrical Optics, method of characteristics and relation between Hamilton's equations and Hamilton-Jacobi equation
- separation of variables, examples: two fixed centres, accelerated Kepler's problem. Liouville-Arnold theorem, action-angle variables, classical examples
Hamiltonian perturbation theory:
- averaging principle
- Lie's method, homological equation and small divisors
- normal forms
- adiabatic invariants
- a glimpse to KAM theory
Bibliografia e materiale didattico
- Note del corso fornite dai docenti
- V. I. Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer
- G. Benettin, F. Fassò: Introduzione alla teoria delle perturbazioni per sistemi Hamiltoniani
- M. Giaquinta, S.Hildebrandt: Calculus of Variations, Vol I, Springer
- J. Moser e E. Zehnder: Notes on Dynamical Systems, Courant Institute of Mathematical Sciences
Bibliography
- Notes of the course, given by the professors
- V. I. Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer
- G. Benettin, F. Fassò: Introduzione alla teoria delle perturbazioni per sistemi Hamiltoniani
- M. Giaquinta, S.Hildebrandt: Calculus of Variations, Vol I, Springer
- J. Moser e E. Zehnder: Notes on Dynamical Systems, Courant Institute of Mathematical Sciences
Modalità d'esame
- L'esame è composto da una prova scritta ed una prova orale.
- La prova scritta consiste in uno o piu' esercizi da risolvere, che si svolge in un'aula normale; la durata della prova e' di 3 ore e, una volta superata, la prova rimane valida per gli appelli della stessa sessione. Durante la prova scritta non e' ammesso l'uso di libri o note del corso.
- La prova scritta è superata se il punteggio ottenuto e' maggiore o uguale a 18/30. Tuttavia, risultano ammessi all'orale con riserva anche gli studenti che hanno conseguito 16/30 o 17/30.
- La prova orale consiste in un'interrogazione alla lavagna, o su foglio, nella quale lo studente dovra' dimostrare di aver appreso la parte teorica e pratica del corso.
- La prova orale è superata se il candidato avra' dimostrato di aver acquisito sufficiente dimestichezza con gli argomenti e le tecniche oggetto del corso.
Assessment methods
- The exam is partly written, partly oral
- the written exam consists of solving one or more exercises and it will be done in an ordinary room; the duration of the exams is 3 hours and, once the student passes it, he can do the oral exam in one of the dates of the same session.During the written exam the student cannot consult textbook or notes
- the written exam is passed if the student gets a mark greater or equal to 18/30. Nevertheless, also students getting 16/30 and 17/30 can be admitted to the oral exam.
- the oral exam will be done at the blackboard or on a sheet of paper: here the student will have to show to know the theoretical and practical aspects of the course.
- the oral exam is passed if the student will show that he has got acquainted with he topics and the techniques of the course.
Updated: 22/08/2020 10:28
