ECTS - University of Pisa
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GEOMETRY AND LINEAR ALGEBRA
ALESSANDRO BERARDUCCI
Academic year2021/22
CourseAEROSPACE ENGINEERING
Code164AA
Credits12
PeriodSemester 1 & 2
LanguageItalian

ModulesAreaTypeHoursTeacher(s)
ALGEBRA LINEAREMAT/03LEZIONI60
ALESSANDRO BERARDUCCI unimap
ALESSIO DEL VIGNA unimap
MARCELLO MAMINO unimap
GEOMETRIAMAT/03LEZIONI60
ALESSANDRO BERARDUCCI unimap
ALESSIO DEL VIGNA unimap
MARCELLO MAMINO unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze
  • Insiemi e funzioni. Funzioni iniettive e surgettive. 
  • Principio d'induzione.
  • Strutture algebriche di gruppo commutativo, anello, campo e spazio vettoriale. 
  • Campo dei numeri complessi.
  • Sistemi lineari. Metodo eliminazione di Gauss. Pivot e variabili libere. Teorema di Rouché-Capelli.
  • Matrici. 
  • Spazi vettoriali. Dimensione. Sottospazi. Somma di sottospazi. Formula di Grassmann. 
  • Sottospazi affini. Equazioni parametriche e cartesiane. 
  • Applicazioni lineari. Nucleo e Immagine. Rango. Dimensione di nucleo e immagine. 
  • Cambio di base e matrici simili. Proiezioni. 
  • Trasformazloni affini. 
  • Determinanti. Matrice inversa. 
  • Prodotto scalare. Spazi euclidei. Procedimento di Gram-Schmidt. 
  • Autovalori, autovettori e diagonalizzabilità di endomorfismi di spazi vettoriali di dimensione finita.
  • Trasformazioni e matrici ortogonali.
  • Trasformazioni autoaggiunte. Teorema spettrale. 
  • Applicazioni bilineari su spazi vettoriali reali di dimensione finita.
  • Forme quadratiche. 
  • Classificazione delle coniche e cenni di quella delle quadriche.
Knowledge
  • Sets and functions.
  • Induction.
  • Commutative groups, rings, fields.
  • Complex numbers.
  • Gauss elimination. Rouché-Capelli theorem. 
  • Vector spaces. Dimension. Subspaces. Sum of subspaces. Grassmann formula. 
  • Affine subspaces. 
  • Linear trasformations. Rank and Kernel. 
  • Change of bases. Projections. 
  • Orthogonal trasformations. 
  • Self-adjoint trasformations. Spectral theorem. 
  • Bilinear forms. 
  • Quadratic forms. Conics. 
Modalità di verifica delle conoscenze

La verifica delle conoscenza verrà effettuata tramite due prove scritte durante il corso e una prova scritta e orale per ogni sessione d'esame.

Assessment criteria of knowledge

The acquisition of knowledge will be verified using two written tests during the lecture period, and one written test for each exam session. 
Capacità
  • Descrivere insiemi e verificare iniettività e suriettività di applicazioni tra di essi.
  • Applicare il principio di induzione.
  • Riconoscere le strutture di gruppo commutativo, anello, campo e spazio vettoriale. 
  • Calcolare prodotti e inversi di numeri complessi in rappresentazione algebrica, trigonometrica ed esponenziale. Calcolare radici n-esime.
  • Applicare l'eliminazione di Gauss, discutere sistemi lineari anche dipendenti da un parametro tramite il teorema di Rouché--Capelli.
  • Calcolare combinazioni lineari, verificare dipendenza e indipendenza lineare. Verificare che un sottoinsieme di uno spazio vettoriale è un sottospazio, determinare insiemi di generatori e basi. Verificare se due sottospazi sono in somma diretta. Applicare la formula di Grassmann.
  • Stabilire se un'applicazione è lineare. Stabilire iniettività e suriettività di un'applicazione lineare. Calcolare dimensioni e basi del nucleo e dell'immagine di un'applicazione lineare. Calcolare le matrici associate ad un'applicazione lineare rispetto a basi diverse. Determinare matrici di cambiamenti di base e saperle usare per calcolare matrici associate ad un'applicazione lineare rispetto a basi diverse. 
  • Trovare esempi di spazi e applicazioni lineari o affini con determinate caratteristiche. 
  • Calcolare i determinanti tramite sviluppi per righe e per colonne, tramite la formula di Sarrus e tramite riduzione a scala. Usare i determinanti per calcolare il rango di matrici rettangolari anche dipendenti da parametri, per calcolare l'inversa di una matrice invertibile e per risolvere sistemi lineari tramite la regola di Cramer.
  • Determinare polinomio caratteristico, autovalori con molteplicità algebriche e geometriche, autospazi e diagonalizzabilità di un endomorfismo, anche dipendente da parametri, di uno spazio vettoriale. 
  • Calcolare prodotti scalari, norme, distanze, proiezioni ortogonali, basi di sottospazi ortogonali, angoli e basi ortonormali tramite il procedimento di ortonormalizzazione di Gram--Schmidt.
  • Determinare basi ortonormali di autovettori. Determinare matrici ortogonali che diagonalizzano matrici simmetriche. Riconoscere e studiare trasformazioni ortogonali degli spazi euclidei standard di dimensione due e tre.
  • Riconoscere equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani affini. Determinare giaciture di rette e piani. Determinare equazioni parametriche a partire da equazioni cartesiane e viceversa, sia per rette che per piani. Determinare rette e piani soddisfacenti condizioni di parallelismo, contenimento, ortogonalità, intersezione con rette, piani, vettori o punti. Determinare posizioni reciproche tra sottospazi affini. Saper utilizzare il prodotto vettoriale per gli scopi anzidetti.
  • Verificare che un'applicazione è bilineare e simmetrica, calcolarne la matrice
    rispetto ad una base, stabilire se è degenere. Determinare sottospazi ortogonali e basi ortogonali per applicazione bilineari simmetriche anche dipendenti da parametri. Determinare la segnatura di applicazioni bilineari simmetriche anche dipendenti da parametri e delle loro restrizioni a sottospazi anche dipendenti da parametri. Determinare vettori e sottospazi soddisfacenti a condizioni assegnate in relazione ad un'applicazione bilineare simmetrica anche dipendente da parametri.
  • Determinare tipo, equazione canonica ed eventuale decomposizione nell'unione di due rette di una conica anche dipendente da parametri.
Skills
  • Describe sets and verify injectivity and surjectivity of maps between sets.
  • Apply the induction principle.
  • Recognize commutative groups, rings and fields.
  • Compute products and inverses of complex numbers using the algebraic, trigonometric or exponential representation. Compute n-th roots of complex numbers. 
  • Apply Gauss elimination and Rouché-Capelli's theorem to the resolution of linear systems possibly depending on a parameter. 
  • Verify the axioms of a vector space, compute linear combinations, check linear dependence and indepence of vectors. Check whether a subset of a vector space is a subspace, determine sets of generators and bases. Check whether two subspaces are complementary. Apply Grassmann's formula.
  • Establish whether a map is linear. Establish whether a linear map is injective or surjective. Compute dimension and basis of kernel and image of a linear map. Compute the matrix associated to a linear map using different bases. Compute the change-of-basis matrix and use it to compute the matrix associated to a linear map via different bases.
  • Compute determinants via Laplace expansions, Sarrus formula and elementary matrix transformations. Use the determinants to compute the rank of rectangular matrices possibly depending on parameters, to compute the inverse of an invertible matrix and to solve linear systems via the Cramer rule.
  • Compute characteristic polynomial, eigenvalues and their algebraic and geometric multiplicities, eigenspaces, determine whether a vector space endomorphism possibly dependent on a parameter is diagonalizable.
  • Compute scalar products, norms, distances, orthogonal projections, bases of orthogonal subspaces, angles and orthonormal bases via the Gram-Schmidt orthonormalization algorithm.
  • Determine ortonormal bases of eigenvectors of symmetric matrices. Determine orthogonal matrices which diagonlize symmetric matrices. Recognize and study orthogonal transformations of standard euclidean spaces of dimension two and three.
  • Recognize parametric and cartesian equations of lines and planes. Determine the direction of affine lines and planes. Determine, for both lines and planes, parametric equations from cartesian equations and vice-versa. Determine lines and planes satisfying conditions of parallelism, inclusion, orthogonality or intersection with lines, planes, vector or points. Establish the reciprocal positions of two planes, a plane and a line and two lines. Use the vector product for the above purposes. 
  • Check whether an application is bilinear and symmetric, compute its matrix with respect to a basis, establish whether it is degenerate. Determine orthogonal subspaces and orthogonal bases with respect to a symmetric bilinear application possibly depending on a parameter. Determine the signature of symmetric blinear applications possibly depending on parameters and the signature of their restrictions to subspaces possibly depending on parameters. Determine vectors and subspaces satisfying conditions formulated in terms of a symmetric bilinear application possibly dependng on parameters.
  • Determine the type, canonical equation and (if existent) decomposition into the union of two lines a conic possibly depending on parameters.
Modalità di verifica delle capacità

Lo studente dovrà dimostrare di sapere risolvere semplici problemi applicando le capacità acquisite.

Assessment criteria of skills

The students will be recquired to solve simple problems using their acquired skills.
Comportamenti

Lo studente potrà acquisire la capacità di valutare la propria preparazione e/o di studiare in gruppo, interagendo con altri studenti.

Behaviors

Students may acquire the ability to evaluate their own knowledge and/or to study in a group, interacting with other students.

Modalità di verifica dei comportamenti

Non saranno effettuate verifiche dei comportamenti.

Assessment criteria of behaviors

There will be no assessment of behaviors.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Calcolo letterale, risoluzione di equazioni di primo e secondo grado, elementi di geometria analitica nel piano, elementi di geometria euclidea e trigonometria. 
Prerequisites

High school elementary algebra. Elementary analytic geometry in the plane, elementary Euclidean geometry and trigonometry. 
Indicazioni metodologiche
  • Lezioni ed esercitazioni in classe. 
  • lezioni a distanza tramite la piattaforma Microsoft Teams in caso di restrizioni dovute all'emergenza covid-19.  
  • esercitazioni in gruppo nel periodo gennaio-febbraio
  • sito e-learning contenente: comunicazioni e informazioni, dispense del corso con esercizi, scritti degli anni precedenti
  • due compitini di verifica durante l'anno
Teaching methods
  • Classroom lectures and exercises. 
  • Online lectures in case of restrictions due to the covid-19 emergency. 
  • group exercises in January-February
  • e-learning web site with: communications and information, lecture notes with exercises, sample written tests 
  • two written tests during the lecture period
Programma (contenuti dell'insegnamento)

Elementi di teoria degli insiemi e algebra. Operazioni tra insiemi. Insiemi numerici, principio d'induzione. Funzioni. Operazioni, strutture algebriche. Polinomi. Numeri complessi.

Spazi vettoriali. Definizione e esempi. Gli spazi Rn e Cn .  Dipendenza lineare, generatori e basi. Coordinate. Dimensione. Sottospazi vettoriali. Somma, intersezione, formula di Grassmann, somma diretta.

Applicazioni lineari e matrici. Definizioni ed esempi. Nucleo e immagine. Algebra delle matrici. Applicazione lineare associata ad una matrice. Matrice associata ad una applicazione lineare. Cambio di base.

Determinante. Determinante delle matrici quadrate e significato geometrico. Proprietà caratterizzanti. Sviluppo di Laplace. Teorema di Binet e matrice inversa. Rango.

Sistemi lineari e sottospazi affini. Metodo di Gauss. Sistemi omogenei. Teorema di Rouché-Capelli. Regola di Cramer. Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio affine. Rette e piani nello spazio.

Autovalori ed autovettori. Sottospazi invarianti, autovalori, autovettori ed autospazi. Polinomio caratteristico. Esistenza di basi di autovettori e diagonalizzabilità.

Spazi Euclidei reali e complessi. Forme bilineari. Prodotti scalari. Segnatura. Norma, ortogonalità. Prodotto scalare canonico in Rn. Basi ortonormali. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram–Schmidt. Disuguaglianza di Bessel. Isometrie. Matrici ortogonali. Trasformazioni autoaggiunte. Teorema spettrale.

Geometria del piano e dello spazio. Trasformazioni del piano e dello spazio. Isometrie affini, rotazioni, traslazioni, riflessioni. Prodotto vettoriale.

Coniche e quadriche. Definizione e classificazione.

Syllabus

Elements of set theory and algebra. Operations among sets. Sets of numbers, induction. Functions. Operations, algebraic structures. Polynomials. Complex numbers.  

Vector spaces. Definitions and examples. The vector paces Rn and Cn. Linear dependence, generators, bases. Coordinates. Dimension. Subspaces. Sums, intersections, Grassmann formula, direct sums. 

Linear maps and matrices. Definitions and examples. Kernel and image. The algebra of matrices. The linear map assocated to a matrix. The matrix associated to a linear map. Change of basis. 

Determinants. Determinant of a square matrix and its geometric interpretation. Characterizing properties. Laplace method. Theorem of Binet, inverse of a matrix. Rank.

Linear systems and affine subspaces. Gauss elimination. Homogenous systems. The Rouché-Capelli theorem. Cramer's rule. Parametric and Cartesian equations of an affine subspace. Lines and planes in 3-space. 

Eigenvalues and eigenvectors. Invariant subspaces, eigenvalues, eigenvectors and eigenspaces. Characteristic polynomial. Basis of eigenvectors and diagonalizable operators. 

Real and complex Euclidean spaces.  Bilinear forms. Scalar products. Signature. Norm, orthogonality. The standard scalar product on Rn. Orthonormal basis. The Gram-Schmidt orthonormalization algorithm. Bessell inequality. Isometries. Orthogonal matrices. Self-adjoint operators. The spectral theorem. 

Geometry of the plane and of 3-space.  Transformations of the plane and of 3-space. Affine isometries, rotations, translations, reflections. Vector product. 

Conics and Quadrics. Definitions and classification. 

 

 
Bibliografia e materiale didattico

Dispense con esercizi disponibili sul sito e-learning del corso

 
Bibliography

Lecture notes and exercises available on the e-learning web site of the course.

Indicazioni per non frequentanti

Non ci sono indicazioni specifiche per studenti non frequentanti.  
Non-attending students info

There are no specific instructions for students who do not attend the lectures. 
Modalità d'esame

L'esame consiste di un colloquio orale preceduto da una prova scritta. Verranno effettuati due compitini che, se superati, esonerano dallo scritto. Durante l'esame finale potrà essere richiesto al candidato di fornire definizioni e dimostrazioni, esemplificare le nozioni e i concetti del corso, risolvere problemi/esercizi scritti, davanti al docente o in separata sede. 
Assessment methods

The examination consists of an oral interview preceded by a written test. There will be two assignments during the lecture period that, if passed, exempt from the written test. During the final exam, the candidate may be asked to give definitions, proofs, examples, and solve written problems/exercises in front of the teacher or in a separate location. 
Updated: 20/08/2021 10:57