ECTS - University of Pisa
Agli studenti è richiesto di acquisire le nozioni di base e le abilità di calcolo relative agli argomenti sottoelencati al successivo punto "Programma(contenuti del corso"), che costituiscono le nozioni di Analisi Matematica grosso modo standard per il secondo anno.
Dovendo fare una distinzione (che potrebbe essere infondata) si ritiene che le conoscenze siano relative alla compensione dei concetti chiave e al riconoscimento nei problemi concreti delle strutture astratte apprese nel corso (modellizzazione)
Students are expected to learn the main notions and the computational skills related to the standard topics of the second year of Calculus, as listed in the Course Contents below.
A distinction (if a meaningful one is possible) could be regarding as knowledge the comprehension of the concepts (definitions) and abstract theorems given in the course. Being able to recognize the abstract structures learnt in real worls problems (modelization) is relevant as well.
Nella prima sezione dello scritto si testa l'attiudine ad applicare correttamente i teoremi appresi a lezione (uso del teorema del Dini, criteri di convergenza, ecc.).
Nell'esame orale, che verte maggiormente su argomenti di teoria e sul corretto uso del linguaggio matematico (incluse alcune dimostrazioni), viene valuata maggiormente la "comprensione" (rispetto all'applicazione meccanica delle regole).
In the first part of the written exam students are asked to apply the theorems learnt in the course in concrete cases (e.g. showing that some set is a nice surface by applying Dini's theorem).
The oral exam will focus on theoretical aspects as well. Students should be capable of using mathematical language to present correctly definitions and theorems (including some proofs). In general they should prove "comprehension" of the main topics (opposed to the bare mechanical usage of calculus rules).
Padronanza delle tecniche di calcolo (integrazione e derivazione) legate a funzioni di più variabili.
Mastering the tecnical rules of calculus (differentiation and integration) in a multivariable setting.
Nella seconda sezione dell'esame scritto viene richiesto agli studenti di risolvere un certo numero di problemi simili a quelli affrontati nel corso (soluzione di integrali, ricerca e classificazione dei punti stazionari di una fuzione in più variabili, soluzione di un sistema di equazioni lineari, calcolo dei coefficienti di Fourier di una funzione e studio della convergenza, ecc.).
In the second part of the written exam students are asked to solve two or three problems similar to those presented during classes (solving differential equations and multiple integrals, dealing with the convergence and the explicit sum of a series and the like).
Data la natura di "materia di base" conoscenze e capacità sembrano identificarsi.
Due to the particular nature of the course, behaviours and knowledge/skills seem to overlap.
Come detto sopra la verifica avviene tramite l'esame finale.
The final exam.
I contenuti dei corsi di Analisi Matematica ! e Geometria.
The contents of the courses of "Analisi 1" and "Geometria"
Il corso si articola in lezioni faccia a faccia, la cui frequenza è caldamente consigliata.
Delivery: face to face
Learning activities:
Attendance: Advised
Teaching methods:
SPAZI VETTORIALI APPLICAZIONI LINEARI E MATRICI - Richiami.
Definizioni ed esempi. Gli spazi R^N. Vettori e operazioni tra vettori. Dipendenza lineare, generatori e basi. Coordinate. Dimensione. Sottospazi vettoriali. Somma, intersezione, somma diretta.
Applicazioni lineari. Definizioni ed esempi. Nucleo e immagine. Rappresentazione mediante matrici. Algebra delle matrici. Applicazione lineare associata ad una matrice. Cambi di base. Determinante. Rango e dimensione del nucleo di una matrice.
Autovalori e autovettori e autospazi. Polinomio caratteristico. Esistenza di basi di autovettori e diagonalizzabilità. Diagonalizzabilità delle matrici simmetriche. Forme quadratiche e loro segnatura. Criterio di Sylvester.
Spazi vettoriali normati completi. Alcune conseguenze della completezza: 1) legame tra convergenza e convergenza assoluta per le serie; 2) teorema delle contrazioni.
CALCOLO DIFFERENZIALE IN PIU’ VARIABILI. R^N come spazio normato: aperti chiusi e frontiere in R^N. Insiemi limitati.
Limiti di funzioni. Continuità. Teorema di Weierstrass e teoremi di connessione.
Derivate parziali e derivate direzionali. Funzioni differenziabili e differenziale. Iperpiano tangente al grafico. Gradiente. Teorema del differenziale totale. Matrice Jacobiana. Calcolo differenziale, in particolare differenziale di una funzione composta.
Derivate successive. Teorema di Scwhartz e matrice hessiana. Formula di Taylor.
Massimi e minimi. Criteri per stabilire la natura dei punti critici mediante la segnatura dell’Hessiano.
Teorema del Dini e delle funzioni implicite. Massimi e minimi vincolati e moltiplicatori di Lagrange.
CALCOLO INTEGRALE IN PIU’ VARIABILI. Integrale di Riemann. Calcolo di aree e volumi. Funzioni e insiemi misurabili secondo Riemann. Teorema di Fubini e integrali iterati. Formula di cambio di variabile. Insiemi e funzioni positive misurabili in senso improprio. Integrale improprio di funzioni misurabili positive. Funzioni integrabilili in senso improprio. Teorema di Fubini-Tonelli per gli integrali impropri.
SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. SERIE DI POTENZE. SERIE DI FOURIER.
Convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni. Teoremi di passaggio al limite:
scambio di limiti, limite sotto il segno di integrale, passaggio al limite delle derivate. Serie di funzioni. Convergenza totale e convergenza uniforme. Passaggi al limite sotto il segno di serie
(continuità, derivata, integrale).
Serie di potenze. Raggio di convergenza e regolarità della somma all’interno dell’intervallo di convergenza. Legame tra i coefficienti della serie di potenze e i coefficienti di Taylor della sommma. Funzioni Analitiche. Risoluzione per serie di equazioni differenziali lineari (problemi di Cauchy).
Serie di Fourier. Definizione e teorema di convergenza per funzioni regolari a tratti. Legame tra la regolarità della funzione e la sommabilità dei coefficienti. Funzioni a energia finita, convergenza in energia e sviluppi di Fourier per funzioni a energia finita. Eguaglianza di Parceval. Uso delle serie di Fourier nella risoluzione di equazioni differenziali lineari con condizioni al contorno.
CURVE, SUPERFICI E CAMPI VETTORIALI. Rappresentazione parametriche di curve. Lunghezza e integrali curvilinei di prima specie (di funzioni scalari). Campi vettoriali. Integrali curvilinei di seconda specie di campi vettoriali. Campi conservativi e loro caratterizzazione mediante l’integrale curvilineo. Potenziale.
Rotore e divergenza di un campo. Campi irrotazionali e campi conservativi. Campi itrrotazionali su domini semplicemente connessi. Condizioni sufficienti per la semplice connessione (stellatezza).
Campi solenoidali e potenziale vettore.
Superfici parameriche, normale a una superficie parametrica. Integrali superficiali di prima specie nel caso parametrico. Area di una superficie. Superfici generali ottenute incollando superfici parametriche. Superfici orientabili. Integrale superficiale di prima specie nel caso generale.
Superfici orientabili. Flusso di un campo attraverso una superficie orientabile.
Orientabilità del bordo di un dominio. Teorema delle Divergenza. Superfici con bordo e orientamento del bordo coerente con la normale. Teorema di Stokes. Esempi vari.
SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI Teorema generale di Cauchy (mediante il teorema delle contarzioni). Riducibilità di un sistema di ordine N a uno di ordine 1. Sistemi di equazioni lineari (o affini) e teoremi di struttura sull’insieme delle soluzioni.
Caso dei sistemi lineari a coefficienti costanti. Esponenziale di una matrice e relativa formula risolutiva. Metodi di calcolo per l’esponenziale. Forma di Jordan e tecniche per la jordanizzazione di una matrice con relativo calcolo delle soluzioni del sistema associato.
Advanced topics in the one dimensional calculus: - Differential equations and systems, Cauchy existence and uniqueness theorem, linear equations - Series of functions, power series, Fourier series. The second part deals with multivariable calculus: - Partial derivatives - Multiple integrals, and their applications - Parametric curves and surfaces (including Dini'theorem and Lagrange multipliers) - Line integrals and flux integrals.
VECTOR SPACES, LINEAR MAPS, MATRICES (a remainder)
Definitions. R^N as a vector space. Operations on vectors. Linear dependence, generators and bases. Coordinates. Dimension. Subspaces. Direct sums.
Linear mappings: definition and examples. Kernel and rank. Matrices and representations of linear maps. Algebra of matrices. Changes of base. Determinant of a matrix.
Eigenvalues and eigenvaectors. Diagonalization of a matrix. Case of a symmetric matrix. Quadratic forms and signature. Sylvester Criterium.
Normed spaces and completeness. consequences of completeness: (1) simple convegence is implied by absolute convergence of a series ina complete space; (2) the Contraction Mapping Theorem
MULTIVARIABLE DIFFERENTIAL CALCULUS. R^N as a normed space. Interior, closure and boundary of a set. Bounded sets.
Limit and continuity in R^N. Properties of continuous functions (Weierstrass, connectedness)
Directional and partial derivatives. Differentiation. Sufficient conditions that ensure differentiability. Gradient and its meaning. Tangent plane to the graph. Jacobian matrix. Differential calcultus: in particular the "chain rule".
Higher order derivatives. Schwartz's Theorem on the second detivatives. Hessian matrix. Taylor's Formula,
Maxima and minima of a function. Necessary condition: extremals are critical. Classifying critical points by means of the signature of the hessian.
Implicit Functions Theorem. COnstrained maxima and Minima, Lagrange multipliers.
MULTIVARIABLE DIFFERENTIAL CALCULUS. R^N as a normed space. Interior, closure and boundary of a set. Bounded sets.
Limit and continuity in R^N. Properties of continuous functions (Weierstrass, connectedness)
Directional and partial derivatives. Differentiation. Sufficient conditions that ensure differentiability. Gradient and its meaning. Tangent plane to the graph. Jacobian matrix. Differential calcultus: in particular the "chain rule".
Higher order derivatives. Schwartz's Theorem on the second detivatives. Hessian matrix. Taylor's Formula,
Maxima and minima of a function. Necessary condition: extremals are critical. Classifying critical points by means of the signature of the hessian.
Implicit Functions Theorem. COnstrained maxima and Minima, Lagrange multipliers.
MULTIVARIABLE INTEGRAL CALCULUS
Riemann Integral on rectangles. Integrability of bounded functions on rectangles. Measurable bounded sets and integrabilty over mesurable sets Fubini's Theorem and iterated integrals. Change of variable in multile integrals. Generalized measurability of unbounded sets and positive functions on the whole space. Generalized integral for positive measurable functions. Integrability in the generalized sense. Fubini-Tonelli's Teorem for the generalized Riemann integral.
SEQUENCES AND SERIES OF FUNCTIONS. POWER SERIES. FOURIER SERIES.
Pointwise and uniform convergence for a sequence of functions. Properties of uniform convergence with respect to continuity, integrability and differentiability.
Series of functions. Total convergence and connection with uniform convergence. Continuity, differentiability and integrability of series of functions.
Power series. Radius of convergence and regularity of the sum on the interval of convergence. Expression of the coefficients of the series as the Taylor coefficients of the sum function. Analytical functions. Solution by power series of linear ODE's.
Fourier Series. Definition and convergence theorem for piecewiese smooth functions. Connection between smoothness of a function and summability of its Fourier series. Functions with finite energy. L^2 convergence and Fourier series of finite energy functions. Parceval equality. Using Fuorier series for solving linear ODE's with boundary conditions.
CURVES, SURFACES AND VECTOR FIELDS. Curves. Prametrizations, Lenght of a curve and line integrals of the first kind (for scalar functions). Vector fields and line integrals of the second kind. Conservative fields an potentials. Characterization of conservative fieds in terms of line integrals.
Divergence and curlo of a vector field. Conservative fields are irrotational. Irrotational fileds on a simply connected domain are conservative. Examples and counterexamples. Star shaped domains are simply connected.
Solenoidal fields and vector potentials.
Parametric surfaces, normal vector to a surface. Surface integral of the first kind for a scalar function over a parametric surface. Area of a parametric surface. Generic surfaces obtained glueing up parametric ones. Integral of the first kind over a generic surface.
Orientable surfaces. Flux of a vector field thhrough an orientable surface. Orientability of the boundary of a regular domain. Divergence Theorem.
Surfaces with boundary. Orientation of the boundary according to the normal field. Stoke's Theorem.
SYSTEMS OF ORDINARY DIFFRENTIAL EQUATION Cauchy Theorem (using the contraction mapping principle). A generic system can be reduced to a system of order 1. Systems of linear ODE and the linear structure of the set of solutions.
Systems of Linear ODE' with constant coefficienta. Exponentiel of a matrix and explicit formula for the solutions of the system. Jordan rapresentation for a generic matrix and computation of the solutions of the system.
Sul sito del docente sono disponibili le trascrizioni dei corsi di tre o quattro anni passati come pure i compiti corretti degli ultimi cinque anni, e del materiale didattico sempre fornito dal docente.
Il sito di cui sopra è http://pagine.dm.unipi.it/
E' inoltre incoraggiato lo studio di un testo standard di Analisi 2. A questo proposito si suggerisccono "Analisi matematica 2" di Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa. Un altro testo utile, più incentrato sulle applicazioni e sugli esercizi è "Calcolo differenziale 2. Funzioni di più variabili": by R.A. Adams and C. Essex
Notes will be made available by the teacher in the below indicated site.
In addition, the aid of a standard textbook in calculus II is strongly encouraged. In this regard a suggestion could be the book "Analisi matematica 2" by Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa (as a natural follower of the first volume by the same authors, which covers the topics of the course of Calculus I). Another useful book, more focused on applications and exercises, is "Calcolo differenziale 2. Funzioni di più variabili": by R.A. Adams and C. Essex
Si consiglia di prendere visione del materiale didattico presente sul sito del docente:
http://pagine.dm.unipi.it/csblog1/
Students are advised to consult the site of the teacher:
http://pagine.dm.unipi.it/csblog1/
L'esame consta di una prova scritta ed una orale. Lo scritto a sua volta è diviso in due sezioni una di quaranta minuti e la seconda di due ore e venti minuti.
La prima sezione dello scritto mira a valutare la compresione di alcuni concetti chiave mediante la loro corretta applicazione o mediante delle domande a risposta aperta o a risposta multipla.
La seconda (con maggior tempo a disposizione) verifica le capacità tecniche di calcolo sviluppate.
La prova orale è facoltativa nel caso di sufficienza alla prova scritta e verte maggiormente su argomenti di teoria (incluse alcune dimostrazioni). Viene qui valuata maggiormente la "comprensione" (rispetto all'applicazione meccanica delle regole o alla conoscenza mnemonica).
The final exam consists of a written exam and an oral dissertation. The written exam is in turn divided into two sections of 40 minutes and 140 minutes respectively.
The oral dissertation is optional in case the score of the written part is sufficient.
See the above points for more details on the individual parts.
L'eventuale pagina di elearning (attualmente ne sono presenti due)
