ECTS - University of Pisa
Conoscenze della teoria svolta su gruppi, anelli campi e teoria di Galois. Conoscenza degli esempi fondamentali della teoria svolta.
The students are expected to deal with the basic algebraic structures like groups, rings, fields and with an introduction to the Galois theory. They will be tested on the basis of various exercises and examples.
Esame scritto e orale
The students is asked to solve a number of problems in the written exam and to give proofs and examples relative to the matter of the course.
Methods:
Further information:
No special weighting, but roughly 50% is assigned to the written exam and roughly 50% to the oral exam.
Collegare gli argomenti, trovare esempi e controesempi, risolvere problemi
Esame scritto e orale
Si raccomanda di seguire le lezioni e le esercitazioni e lo studio individuale durante tutto il semestre.
Nessuna
Contenuti del corso di Aritmetica
Studio della teoria e risoluzione degli esercizi
Delivery: face to face
Learning activities:
Attendance: Advised
Teaching methods:
Richiami sulla teoria elementare dei gruppi.
Il gruppo degli automorfismi. Automorfismi interni. Prodotti diretti e prodotti semidiretti di gruppi. Azioni di un gruppo su un insieme. Classi di coniugio. Formula delle classi, applicazioni ai p-gruppi e teorema di Cauchy.I teoremi di Sylow.
Gruppi di permutazioni. Classi di coniugio nel gruppo di permutazioni su n elementi. Teorema di struttura per i gruppi abeliani finiti.
Anelli e sottoanelli, corpi e campi. Anelli commutativi, domini d’integrit`a e divisori dello zero. Il gruppo delle unità di un anello. Ideali e anelli quoziente. Ideale generato da un sottoinsieme. Operazioni sugli ideali. Omomorfismi tra anelli e teorema di omomorfismo. Campo dei quozienti di un dominio d’integrità.
Anelli euclidei, anelli a ideali principali e anelli a fattorizzazione unica.
L’anello dei polinomi. Lemma di Gauss e fattorizzazione unica dei polinomi a coefficienti in un anello a fattorizzazione unica.
Estensioni di campi. Estensioni finite ed estenzioni algebriche. Chiusura algebrica di un campo: esistenza ed unicit`a. Estensioni normali, gruppi di Galois e corrispondenza di Galios. Calcolo di gruppi di Galois. Cenni sulla risolubilit`a per radicali e sulle costruzioni con riga e compasso.
Theory of groups. Authomorphims, conjugacy classes, class formula, permutations, finite abelian groups. Theory of rings: domains, zero divisors, units, ideals, quotients, homomorphisms. Special rings: euclidean domanins, principal ideal domains, unique factorization domains. Extensions of fields, splitting field of a polynomial, finite Galois theory.
Libri di esercizi: Esercizi scelti di algebra, R.Chirivi', I. Del Corso, R.Dvornicich (Springer, 2 volumi).
N. Herstein, Algebra, Editori Riuniti.
M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri
S. Lang, Undergraduate Algebra (2nd Ed.), Springer-Verlag.
A. Machi’, Gruppi, UNITEXT Springer.
Lectures (available on the webpage)
Exercise books: Esercizi scelti di algebra. R.Chirivi', I. Del Corso, R.Dvornicich (Springer, 2 volumes. , The first volume is already available in the english version with title Selected excercises in algebra).
Recommended readings include the following books: S. Lang, Undergraduate Algebra 2nd Ed., Springer-Verlag. N. Herstein, Algebra, Editori Riuniti. M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri.
Recommended readings include the following books: S. Lang, Undergraduate Algebra 2nd Ed., Springer-Verlag. N. Herstein, Algebra, Editori Riuniti. M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri.
Esame scritto e orale
Wirtten and oral exam
