ECTS - University of Pisa
Spazi normati, spazi metrici, topologia. Norma euclidea e prodotto scalare. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Spazi normati. Spazi metrici. Topologia di uno spazio metrico. Sottospazi. Varie nozioni di compattezza per spazi topologici e per spazi metrici. Connessione. Successioni di Cauchy e completezza. Spazi di funzioni limitate su un insieme. Spazi di funzioni continue. Convergenza puntuale e uniforme. Teorema delle contrazioni. Equivalenza di norme. Serie assolutamente convergenti. Applicazioni lineari continue. Serie di Neumann. Argomento diagonale di Cantor. Teorema di Ascoli-Arzela. Curve rettificabili; esistenza di curve di minima lunghezza fra due punti in uno spazio metrico compatto. Polinomi di Bernstein. Teorema di Stone-Weierstrass. Teorema della categoria di Baire.
Calcolo differenziale. Differenziale di un'applicazione fra spazi normati. Somma e composizione di applicazioni differenziabili. Derivate, gradienti, Jacobiani, derivate direzionali, derivate parziali. Differenziabilità di un'applicazione inversa. Applicazioni bilineari. Teorema del valor medio per curve. Teorema del differenziale totale. Teorema di simmetria del differenziale secondo. Hessiano. Funzioni convesse. Minimi liberi: condizioni necessarie e suffcienti. Teorema di inversione locale. Teorema della funzione implicita. Valori regolari. Sottovarietà differenziabili di Rn; tangente. Teorema di limite sotto il segno di derivata. Estremi vincolati; metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Linearità e differenziabilità in senso complesso; equazioni di Cauchy-Riemann. Funzioni analitiche reali e complesse. Teorema di non-retrazione e teorema di punto fisso di Brouwer in Rn. Forme differenziali e campi vettoriali in Rn. Integrale di linea. Forme esatte e chiuse. Forme localmente esatte. Continuità e derivabilità di integrali dipendenti da un parametro. Omotopie; invarianza per omotopia. Domini semplicemente connessi.
Equazioni differenziali ordinarie in Rn. Metodi risolutivi. Soluzioni locali. Il problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità locale di soluzioni del problema di Cauchy con le ipotesi di Lipschitz. Soluzioni massimali di un'equazione differenziale ordinaria. Condizioni di esistenza in grande. Esempio di non unicità locale con secondo membro continuo. Teorema di esistenza di Peano. Lemma di Gronwall. Dipendenza continua dai dati iniziali. Soluzione generale di un'equazione ordinaria. Fuga dai compatti. Equazioni lineari. Matrice di transizione. Equazioni lineari omogenee. Variazione delle costanti arbitrarie. Sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti; esponenziale di una matrice. Stabilità lineare. Dipendenza differenziabile dai dati iniziali.
Misura e integrale. Nozione di misura e misura esterna. Il teorema di estensione di Caratheodory (senza dimostrazione). La misura di Lebesgue in Rn. Insiemi di misura nulla. Esempio di Vitali. Integrale di funzioni misurabili. Teorema di Beppo Levi. Teorema di convergenza dominata di Lebesgue. Integrazione per serie. Completezza degli spazi L1(X,μ). Integrazione iterata. Teorema di Fubini-Tonelli. Continuità e derivabilità di integrali con parametro. Operatori di composizione. Sottospazi densi in L1(X,μ) e approssimazione. Il teorema di Radon-Nikodym (senza dimostrazione). Formula del cambio di variabile per la misura di Lebesgue. Coordinate polari. Misura superciale. Teorema della divergenza e teorema di Gauss-Green.
Normed spaces, metric spaces, topology. Euclidean norm, scalar product. Cauchy-Schwarz inequality. Normed spaces. Metric spaces. Metric topology. Subspaces. Various notions of compactness in topologic and metric spaces. Connectedness. Cauchy sequences and completeness. Spaces of bounded functions on a set. Spaces of continuous functions. Point-wise and uniform convergence. The contraction theorem. Equivalence of norms. Absolutely convergent series. Linear continuous maps. Neumann series. Cantor's diagonal argument. Ascoli-Arzelà's theorem. Rectifiable curves. Existence of curves of minimum length joining two points in a compact metric space. Bernstein polynomials. Stone-Weierstrasse theorem. Braire' category theorem.
Differential calculus. Differential of a map between normed spaces. Sum and composition of differentiable maps. Derivative, gradient, Jacobian matrix, directional derivative, partial derivatives. Differentiability of an inverse map. Bolinerà maps. Lagrange' mean value theorem for curves in normed spaces. Total differential theorem. Higher differentials. Theorem of symmetry of the second differential. Hessian matrix. Convex functions. Free minima: necessary and sufficient conditions. Implicit function theorem. Regular values. Differentiable submanifold in Rn. Tangent space. Theorem of limit under the sign of derivative. Constrainted minimisation. Lagrange multipliers. Linearity and differentiability in complex normed spaces. Cauchy-Riemann equations. Real and complex analytic functions. Non-retraction theorem and Brouwer fixed point theorem in Rn. Differential forms and vector fields. Path integral. Closed and exact forms. Locally exact forms. Continuity and differentiability of integrals with respect to a parameter. Homotopies. Homotopy invariance. Simply connected domains.
Odinary Differential Equations in Rn. Solution methods. Local solutions. Cauchy problem. Theorem of existence and uniqueness of local solutions do a Cauchy problem with Lipschitz hypotheses. Maximally defined solutions of an ODE. General solutions of an ODE.
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