ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| METODI MATEMATICI 2 | FIS/02 | LEZIONI | 48 |
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Lo studente che completa con successo la prima parte del corso acquisira` una conoscenza dettagliata dei fondamenti della "teoria delle funzioni di una variabile complessa" e delle sue applicazioni al calcolo di integrali definiti e a numerosi problemi di potenziale in due dimensioni in fisica. Nella seconda parte del corso lo studente imparera` ad applicare queste tecniche allo studio delle principali proprieta` della cosiddetta "funzione di Green" di un sistema lineare, una nozione di fondamentale importanza con svariate applicazioni in molti campi della fisica. Contestualmente, lo studente acquisira` una conoscenza basilare dei fondamenti della cosiddetta "teoria delle distribuzioni" (in particolar modo delle "distribuzioni temperate" e delle loro trasformate di Fourier), mettendo cosi` su basi matematicamente rigorose la nozione della cosiddetta "delta di Dirac" (e di altre famose distribuzioni).
The student who successfully completes the first part of the course will acquire a solid knowledge of the foundations of the theory of functions of a complex variable and of its applications to the evaluation of definite integrals and to various two-dimensional potential problems in Physics. In the second part of the course, he/she will learn how to apply these techniques to study the main properties of the so-called "Green function" of a linear system, a notion of fundamental importance in Physics with many applications in different fields. At the same time, he/she will acquire a basic knowledge of the foundations of the so-called "theory of distributions" (mainly of "tempered distributions" and their Fourier transforms), so putting on a mathematically rigorous basis the notion of the so-called "Dirac delta function" (plus other famous distributions).
Le conoscenze acquisite dallo studente saranno verificate sulla base dalla sua capacita` di risolvere i problemi assegnati durante le esercitazioni e nelle prove finali d'esame (scritto e orale).
The student will be assessed on his/her acquired knowledge from his/her ability to solve problems which are proposed in exercise classes and in a final written and oral exam.
Lo studente sara` in grado di risolvere esercizi e problemi (come il calcolo di integrali definiti e problemi di potenziale in due dimensioni in fisica) usando i metodi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa (incluse le cosiddette "trasformazioni conformi"). Inoltre, lo studente sara` in grado di risolvere esercizi e problemi in svariati campi (principalmente, in elettromagnetismo) che coinvolgono la cosiddetta "funzione di Green" di un sistema lineare, facendo anche un uso appropriato delle cosiddette "distribuzioni".
The student will be able to solve exercises and problems (such as the evaluation of definite integrals and two-dimenstional potential problems in Physics) using the methods of the theory of analytic functions of a complex variable (including the so-called "conformal mapping"). Moreover, he/she will be able to solve exercises and problems in different fields (mainly, in electromagnetism) involving the so-called "Green function" of a linear system, making also a proper use of the so-called "distributions".
Le capacita` acquisite dallo studente saranno verificate sulla base della sua abiliita` nel risolvere i problemi assegnati durante le esercitazioni e nelle prove finali d'esame (scritto e orale).
The student will be assessed on his/her demonstrated skills from his/her ability to solve problems which are proposed in exercise classes and in a final written and oral exam.
Lo studente sara` in grado di intraprendere studi piu` avanzati in molti campi della fisica dove i metodi matematici discussi nel corso (ovvero, le nozioni di "funzioni analitiche di variabile complessa", di "funzioni di Green" e di "distribuzioni") vengono utilizzati.
The student will be able to undertake more advanced studies in many fields of Physics where the Mathematical Methods discussed in this course (i.e., the notions of analytic functions of a complex variable, of "Green functions" and of "distributions") are used.
La maturita` acquisita dallo studente nell'utilizzo dei metodi matematici discussi in questo corso sara` verificata sulla base della sua abiliita` nel risolvere i problemi assegnati durante le esercitazioni e nelle prove finali d'esame (scritto e orale).
The student will be assessed on his/her acquired maturity in managing the Mathematical Methods discussed in this course from his/her ability to solve problems which are proposed in exercise classes and in a final written and oral exam.
Si assume che lo studente che segue questo corso abbia gia` seguito il corso di "Metodi Matematici 1" (oltre, ovviamente, a tutti i corsi di matematica del biennio) e anche il corso di "Fisica 2".
Per poter sostenere l'esame e` necessario aver prima superato (con esito positivo) e verbalizzato l'esame del corso di "Metodi Matematici 1".
The student who attends this course should have already attended the course of "Mathematical Methods I", plus, of course, all the basic courses of Mathematics (given in the first two years) and also the course of "Physics II".
The student can be admitted to take the final examination only if he/she has already passed the final examination of the course of "Mathematical Methods I".
Lezioni ed esercitazioni frontali.
La frequenza non e` obbligatoria, ma e` comunque altamente consigliata.
Delivery: face to face
Learning activities:
Attendance: Advised
Teaching methods:
A. FUNZIONI DI UNA VARIABILE COMPLESSA:
Nozione di funzione di una variabile complessa: continuita`, punti di diramazione e tagli.
Derivazione di una funzione di una variabile complessa: definizione e condizioni di Cauchy-Riemann.
Definizione e proprieta` delle cosiddette "funzioni analitiche".
Integrale di una funzione rispetto ad una variabile complessa: proprieta` fondamentali e "teoremi di Cauchy".
La formula dell'integrale di Cauchy per una funzione analitica e alcune sue conseguenze.
Integrali dipendenti da un parametro e derivata di ordine qualsiasi di una funzione analitica: "teorema di Morera" e "teorema di Liouville".
Serie uniformemente convergenti di funzioni di una variabile complessa: proprieta` generali e "teorema di Weierstrass".
Serie di potenze di una variabile complessa e serie di Taylor.
Gli zeri di una funzione analitica e il "teorema di unicita`".
Il prolungamento analitico dall'asse reale al piano complesso di alcune funzioni elementari. La nozione di "superficie di Riemann".
Serie di Laurent e classificazione dei punti singolari isolati di una funzione analitica.
Residuo di una funzione analitica in un punto singolare isolato: il "teorema fondamentale" della teoria dei residui.
Calcolo degli integrali definiti mediante i residui: il "lemma di Jordan".
La relazione fra funzioni analitiche ed armoniche e le cosiddette "trasformazioni conformi": alcune applicazioni ai problemi di potenziale.
B. FUNZIONI DI GREEN ED ELEMENTI DI TEORIA DELLE DISTRIBUZIONI:
Definizione e proprieta` della cosiddetta "funzione di Green" (per sistemi lineari e indipendenti dal tempo): l'analisi in frequenza e la "legge di dispersione".
Proprieta` della funzione di Green nel piano complesso del dominio delle frequenze per sistemi causali: le "trasformate di Hilbert" e il "teorema di Titchmarsh".
L'esempio fisico della suscettivita` elettrica di un mezzo dielettrico: le "relazioni di dispersione" di Kramers e Kroenig.
Definizione generale di "distribuzione": le "distribuzioni a supporto compatto" (E'), le "distribuzioni temperate" (S') e le "distribuzioni di Schwartz" (D').
Vari esempi di distribuzioni, fra cui la "delta di Dirac".
La "convergenza debole" di una successione di distribuzioni: esempi di successioni di distribuzioni convergenti alla delta di Dirac.
Definizione della derivata e della trasformata di Fourier di una distribuzione temperata.
La distribuzione "parte principale" [P(1/x)].
Prodotto e convoluzione fra distribuzioni.
Proprieta` e esempi di applicazioni delle distribuzioni.
La funzione di Green per il problema del potenziale coulombiano generato da una data distribuzione di cariche.
Esempi di funzioni di Green per problemi con condizioni al contorno assegnate.
Le funzioni di Green del campo elettromagnetico e la derivazione dei cosiddetti "potenziali ritardati".
Osservazioni sulla "trasformata di Laplace": la sua relazione con la trasformata di Fourier e il suo utilizzo per lo studio di sistemi lineari e indipendenti dal tempo.
A. FUNCTIONS OF A COMPLEX VARIABLE:
The notion of function of a complex variable: continuity, branch points and cuts.
Derivative of a function of a complex variable: definition and Cauchy-Riemann conditions.
Definition and properties of the so-called "analytic functions".
Integrals of a function with respect to a complex variable: fundamental properties and "Cauchy's theorems".
The formula of Cauchy's integral for an analytic function and some consequences. Integrals depending on a parameter and higher-order derivatives of an analytic function: "Morera's and Liouville's theorems".
Uniformly convergent series of functions of a complex variable: general properties and "Weierstrass' theorem"
Power series of a complex variable and Taylor's series.
The zeros of an analytic function and the "uniqueness theorem". The analytic continuation of some elementary functions from the real axis to the complex plane. The notion of "Riemann surface".
The Laurent series and the classification of the isolated singular points of an analytic function.
The "residue" of an analytic function in an isolated singular point: the "fundamental theorem" of the residues' theory.
Evaluation of definite integrals by means of residues: "Jordan's lemma".
The relation between analytic and harmonic functions and the so-called "conformal mappings": some applications to two-dimensional potential problems in Physics.
B. GREEN FUNCTIONS AND ELEMENTS OF THE THEORY OF DISTRIBUTIONS:
Definition and properties of the so-called "Green function" (for time-independent linear systems): the spectral analysis and the "dispersion law". Properties of the Green function in the complex frequency plane for causal systems: the "Hilbert transformations" and the "Titchmarsh theorem". The physical example of the electric susceptibility of a dielectric material and the "Kramers-Kronig dispersion relations".
The general definition of a "distribution": "compact-support distributions" (E'), "tempered distributions" (S') and "Schwartz distributions" (D'). Various examples of distributions (e.g., the so-called "Dirac delta function").
The "weak convergence" of a sequence of distributions: examples of various sequences of distributions converging to the "Dirac delta function". Definition of the derivative and the Fourier transform of a tempered distribution.
The so-called "Principal Part distribution" [P(1/x)]. Products and convolutions of distributions.
Properites and examples of applications of distributions.
The Green function for the problem of the Coulomb potential produced by a given electric-charge distribution.
Examples of Green functions for problems with fixed boundary conditions.
The Green functions of the electromagnetic field and the derivation of the so-called "retarded potentials".
Remarks on the "Laplace transform": its relation with the Fourier transform and its use for the study of time-independent linear systems.
1) G. Cicogna, "Metodi matematici della Fisica" (Second Edition, Ed. Springer, 2015): i capitoli 3, 4 e 5 coprono la quasi totalita` degli argomenti del corso.
2) G. Cicogna, "Exercises and Problems in Mathematical Methods of Physics" (Second Edition, Ed. Springer, 2020).
3) A.G. Sveshnikov & A.N. Tikhonov, "The theory of functions of a complex variable" (Mir Publishers, 1982): contiene una trattazione approfondita degli argomenti della prima parte del corso.
4) J.D. Jackson, "Elettrodinamica classica" (Ed. Zanichelli, 2001): contiene una trattazione approfondita degli esempi fisici discussi durante il corso.
Sono inoltre disponibili (nella pagina web del corso) gli appunti delle lezioni preparati dal docente.
1) G. Cicogna, "Metodi matematici della Fisica" (Second Edition, Ed. Springer, 2015): chapters 3, 4, and 5 cover practically all the subjects of the course.
2) G. Cicogna, "Exercises and Problems in Mathematical Methods of Physics" (Second Edition, Ed. Springer, 2020).
3) A.G. Sveshnikov & A.N. Tikhonov, "The theory of functions of a complex variable" (Mir Publishers, 1982): it contains an in-depth and complete treatment of the subjects of the first part of the course.
4) J.D. Jackson, "Elettrodinamica classica" (Ed. Zanichelli, 2001): it contains an in-depth treatment of all the physical examples discussed during the course.
Moreover, lecture notes are available in the class web page.
L'esame consistera` in una prova scritta, durante la quale verra` richiesto di risolvere tipicamente due problemi, uno sulla prima parte del corso e un altro sulla seconda parte. In caso di superamento con esito positivo (o almeno "quasi sufficiente") della prova scritta, lo studente sara` ammesso a sostenere la prova orale.
Assessment methods:
The final written exam consists typically of two problems, one on the first part of the course and another on the second part of the course. The student who passes the written proof (with at least a sufficient grade) is admitted to the final oral proof.
