ECTS - University of Pisa
Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito le basi logiche necessarie per il ragionamento matematico in generale. Dovrà essere in grado di comprendere ed elaborare enunciati e dimostrazioni riguardanti gli specifici argomenti del corso. In particolare lo studente dovrà aver acquisito conoscenze in merito agli strumenti e alle metodologie riguardanti: teoria degli insiemi, limiti, successioni e serie, calcolo differenziale in una variabile, teoria dell'integrazione per funzioni di una variabile reale, equazioni differenziali lineari.
At the end of the course the student is supposed to have acquired the necessary logic for mathematical reasoning. He will have to be able to understand and elaborate statements and proofs concerning the specific topics of the course. In particular, the student must have acquired knowledge about the tools and methodologies concerning: set theory, limits, sequences and series, differential calculus in one variable, integration theory for functions in one real variable, linear differential equations.
I metodi di verifica sono:
Durante le lezioni/esercitazioni settimanali lo studente dovra' dimostrare di aver acquisito le conoscenze necessarie per portare avanti il proprio percorso didattico.
Durante la prova scritta finale (3 ore), lo studente deve mostrare la propria conoscenza degli argomenti del corso rispondendo correttamente a domande test, e svolgendo esercizi. Durante la prova orale, lo studente deve mostrare la propria conoscenza degli argomenti del corso esponendo correttamente le definizioni, i teoremi e le dimostrazioni, evidenziando comprensione degli argomenti.
Methods:
During the weekly lectures the student must show full knowledge of the topics treated.
In the written exam (3 hours), the student must demonstrate his/her knowledge of the course material, by answering to test questions and by organising an effective and correctly written reply to some exercises. During the oral exam the student must be able to demonstrate his/her knowledge of the course material and be able to discuss the reading matter thoughtfully and with propriety of expression.
Lo studente dovrà essere in grado di comprendere e di elaborare le dimostrazioni degli enunciati matematici trattati durante il corso. Inoltre, dovrà essere in grado di risolvere esercizi sugli argomenti trattati a lezione, applicando in maniera adeguata metodi e teoremi presentati durante il corso. In particolare dovrà avere la capacità di trattare in autonomia: teoria degli insiemi, limiti, successioni e serie, calcolo differenziale in una variabile, teoria dell'integrazione per funzioni di una variabile reale, equazioni differenziali lineari.
The student must be able to understand and elaborate the proofs of the mathematical statements discussed during the course. Moreover, he/she must be able to solve exercises regarding the topics covered in class, applying methods and theorems presented during the course. In particular, the student should be able to deal properly with set theory, limits, sequences and series, differential calculus in one variable, integration theory for functions in one real variable, linear differential equations.
Saranno assegnati con regolarità esercizi sugli argomenti svolti, per consentire allo studente di verificare il proprio livello di comprensione.
The student will receive regularly exercise sheets on the topics discussed during the lectures to be able to check his/her level of understanding.
Lo studente sarà pronto a studiare modelli di fenomeni di natura economica, fisica, biologica, ecc, sviluppando capacità di studio individuale e in gruppo.
The student will be trained to study mathematical models of phenomena of different nature, as economical, phisical, biological, etc. Moreover the student will develop individual skills and will be trained to cooperate.
Lo studente verificherà la propria capacità di svolgimento degli esercizi assegnati confrontandosi con i colleghi e con il docente.
The student will verify his/her ability to perform the exercises by comparing the solutions with the colleagues and with the teacher.
Ottima conoscenza della matematica di base delle scuole superiori: polinomi, trigonometria, equazioni e disequazioni.
High-school Mathematics: polynomials, trigonometry, equations and inequalities.
Le lezioni sono frontali. Per imparare la materia si richiede
La frequenza non è obbligatoria.
Delivery: face to face
Learning activities:
Attendance: not mandatory
Insiemi: operazioni tra insiemi (unione, intersezione, differenza, prodotto cartesiano), l'insieme delle parti. Insiemi numerici: N, Z, Q, R, C. Proprietà dei numeri reali. Assioma di continuità. Forma cartesiana, polare ed esponenziale dei numeri complessi, operazioni algebriche fondamentali tra numeri complessi. Teorema fondamentale dell'algebra, molteplicità delle radici di un polinomio.
Funzioni: funzioni iniettive, surgettive, bigettive, invertibili. Funzione inversa. Grafico di una funzione. Interpretazione grafica di iniettività e surgettività. Immagine e controimmagine di un sottoinsieme tramite una funzione. Funzioni e funzioni inverse elementari (valore assoluto, potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e loro inverse). Funzioni pari, dispari, periodiche. Funzioni monotone. Funzioni e insiemi limitati inferiormente e superiormente, estremi inferiore e superiore, massimi e minimi.
Successioni: successioni di numeri reali, operazioni elementari sulle successioni e sui relativi limiti. Forme indeterminate. Teorema di unicità del limite. Teorema di permanenza del segno. Teorema del confronto. Teorema dei carabinieri. Criteri della radice e del rapporto per i limiti. Successioni monotone, successioni limitate, successioni definite per ricorrenza, sottosuccessioni.
Limiti: limite di una funzione. Teoremi su limiti di funzione analoghi a quelli per le successioni: teoremi sulla somma, il prodotto, il quoziente, teorema del confronto e dei carabinieri. Limiti notevoli di funzioni. Linguaggio degli infinitesimi. Definizione e principali proprietà di o piccolo, O grande, equivalenza asintotica. Teorema di de l’Hopital, formula di Taylor.
Funzioni continue: definizione e proprietà fondamentali delle funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari, continuità della funzione inversa, continuità della composizione di funzioni. Teorema degli zeri e teorema di Weierstrass, immagine di una funzione continua su di un intervallo, massimo e minimo di una funzione su un insieme.
Calcolo differenziale in una variabile: definizione di funzione derivabile in un punto. Interpretazione geometrica del rapporto incrementale e della derivata. Rapporto tra continuità e derivabilità in un punto.Teoremi sul calcolo delle derivate (somma, prodotto, quoziente, composizione, inversa). Derivate delle funzioni elementari e delle loro inverse. Relazione tra il segno della derivata e la monotonia della funzione. Teoremi sulle funzioni derivabili: Rolle, Cauchy, Lagrange, Teorema di de l’Hopital. Formula di Taylor con resto di Peano e con resto di Lagrange. Studio di funzione locale e globale, e relative applicazioni.
Serie: definizione e proprietà elementari delle serie numeriche. Condizioni per la convergenza di una serie. Serie geometrica, serie armonica, serie telescopiche. Criteri di convergenza: criterio della radice, del rapporto, del confronto, del confronto asintotico, criterio di Leibnitz (serie a segno alterno) e dell’assoluta convergenza (serie a segno qualunque). Serie di potenze e raggio di convergenza, serie di Taylor di una funzione derivabile infinite volte in un punto. Definizione
di funzione analitica in un intervallo. Analiticità delle funzioni elementari. Teorema di derivazione e integrazione per serie di potenze. Applicazione al calcolo della somma di alcune serie particolari.
Calcolo integrale in una variabile: integrale di Riemann per funzioni di una variabile limitate su intervalli limitati e suo significato geometrico. Proprietà dell'integrale, integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni continue. Funzione integrale, Teorema fondamentale del calcolo integrale. Funzioni primitive, calcolo di integrali definiti, primitive delle funzioni elementari. Calcolo degli integrali: formule di integrazione per parti e per sostituzione, integrazione delle funzioni razionali. Integrali impropri, criterio del confronto e del confronto asintotico.
Equazioni differenziali (se il tempo lo consente): ordine di una equazione differenziale, equazioni in forma normale.
Problema di Cauchy: Teorema di esistenza e unicità della soluzione, intervallo massimale di esistenza. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili, equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti omogenee e non omogenee.
Set theory: operations between sets (union, intersection, difference, Cartesian product), power set of a set. Numerical sets: N, Z, Q, R, C. Properties of real numbers. Continuity axiom. Various expressions for complex numbers: cartesian and polar coordinates, and exponential form. Fundamental algebraic operations between complex numbers. Fundamental theorem of algebra, multiplicity of the roots of a polynomial.
Functions: injective, surjective, bijective and invertible functions. Inverse function. Graph of a function. Graphical interpretation of injectivity and surjectivity. Image and counter image of a subset. Elementary functions (absolute value, powers, exponentials, logarithms, trigonometric functions and their inverse functions). Even, odd, periodic functions. Monotone functions. Limited functions and sets: limited inferiorly and superiorly, inferior and superior extremes, maximums and minima.
Sequences: sequences of real numbers, elementary operations between sequences and their limits. Indefinite forms. Uniqueness theorem for the limit. Sign permanence theorem. Comparison theorem. "Carabinieri" theorem. Root and quotient criteria for limits. Monotone sequences, limited sequences, sequence defined by recurrence, subsequences.
Limits: limit of a function. Theorems on limits for functions analogous to those for sequences: theorems for the sum, product and quotient, the comparison theorem and the "carabinieri" theorem. Notable special limits. Infinitesimal theory: definition and main properties of either small o, or large O, asymptotic equivalence. De l'Hopital theorem, Taylor's formula.
Continuous functions: definition and fundamental properties of continuous functions. Continuity of the elementary functions, continuity of the inverse function, continuity of the composition of functions. Existence of zeros and Weierstrass theorem, image of a continuous function on an interval, maximum and minimum of a function on a set.
Differential calculus in one variable: definition of differentiable function in one point. Geometric interpretation of the incremental ratio and of the derivative. Link between continuity and differentiability in one point. Theorems on derivatives (sum, product, quotient, composition, inverse). Derivatives of elementary functions and of their inverse. Relation between the sign of the derivative and the monotony of the function. Theorems on differentiable functions: Rolle, Cauchy, Lagrange, De l'Hopital theorem. Taylor's formula with Peano's remainder and with Lagrange's remainder. Local and global study for functions, and applications.
Series: definition and elementary properties of numerical series. Necessary conditions for the convergence of a series. Geometric series, harmonic series, telescopic series. Convergence criteria: root criterion, quotient criterion, comparison, asymptotic comparison, Leibnitz criterion (alternate sign series) and absolute convergence (series with any sign). Power series and convergence radius, Taylor series of a function infinitely differentiable in one point. Definition of analytic function. Elementary analytic functions. Derivation and integration theorem for power series. Application to the computation of the sum of some particular series.
Integral calculus in one variable: Riemann integral for limited one variable functions on limited intervals and its geometric meaning. Properties of the integral, integrability of monotone functions and continuous functions. Integral function, fundamental theorem of integral calculus. Primitive functions, computation of definite integrals, primitives of elementary functions. Computation of integrals: integration formulas by parts and by substitution, integration of rational functions. Improper integrals, criterion of comparison and asymptotic comparison.
Differential equations (if time permits): order of a differential equation, equations in normal form.
Cauchy problem: existence and uniqueness of the solution, maximal interval of existence. First order differential equations with separable variables, first order linear differential equations. Linear differential equations with homogeneous and non-homogeneous constant coefficients.
Verranno forniti con regolarità durante il corso degli esercizi da svolgere per verificare la propria preparazione. Non viene seguito un unico testo, un "qualsiasi" libro di testo di Analisi Matematica I può essere utile per lo studio e la preparazione dell'esame. Solo come esempio si forniscono alcuni titoli (in ordine alfabetico per primo autore):
M. Bertsch - R. Dal Passo - L. Giacomelli "Analisi Matematica" Ed. McGraw-Hill
M. Bramanti - C.D. Pagani - S. Salsa "Analisi Matematica 1" Ed.Zanichelli
A. Languasco "Analisi Matematica 1 - Teoria ed esercizi" Ed. Hoepli
The student will receive regularly exercise sheets to monitor his/her understanding. There is no "textbook" but "any" book on Analisi Matematica I (Mathematical Analysis I) can be useful to study and get ready for the final exam. Just as an example we provide a few italian titles (alphabetical order by first author):
M. Bertsch - R. Dal Passo - L. Giacomelli "Analisi Matematica" Ed. McGraw-Hill
M. Bramanti - C.D. Pagani - S. Salsa "Analisi Matematica 1" Ed.Zanichelli
A. Languasco "Analisi Matematica 1 - Teoria ed esercizi" Ed. Hoepli
Consultare le informazioni sul sito del corso.
Please check all the information on the website.
L'esame consiste in:
Durante la prova scritta (3 ore), lo studente deve mostrare la propria conoscenza degli argomenti del corso rispondendo correttamente a domande test, e svolgendo esercizi a risposta aperta. In particolare lo studente dovra' mostrare buona conoscenza degli argomenti trattati a lezione, piena autonomia di ragionamento e ottima padronanza degli strumenti, applicando in maniera adeguata metodi e teoremi presentati durante il corso. Il punteggio di ogni esercizio sarà indicato sul testo e lo studente dovrà raggiungere una valutazione di almeno 15 punti su 30 per accedere alla prova orale che dovrà tenersi entro la stessa sessione di esami (non necessariamente nello stesso appello). Durante la prova scritta sarà consentito usare una semplice calcolatrice scientifica e consultare i formulari.
Durante il corso verranno svolte due prove in itinere (compitini), una a metà corso ed una alla fine del corso, prima del primo appello estivo: superare le prove equivale a superare lo scritto. Chi supera le prove intermedie puo' accedere alla prova orale in un qualsiasi appello della sessione estiva.
Gli studenti che avranno ottenuto una valutazione positiva della prova scritta (voto maggiore o uguale a 18) potranno scegliere una modalità di orale semplificato della durata di 15/20 minuti e nel quale non saranno richieste dimostrazioni ma solo definizioni, enunciati ed esercizi: per chi sceglie tale modalità di esame il voto finale non potrà superare quello dello scritto. Durante la normale prova orale (ca. 30 minuti), lo studente deve essere in grado di discutere gli esercizi della prova scritta e mostrare la propria conoscenza degli argomenti del corso esponendo correttamente le definizioni, i teoremi e le dimostrazioni, evidenziando comprensione degli argomenti.
Il voto finale (per la modalità di esame normale) risulterà dalla media aritmetica tra i voti della prova scritta e della prova orale.
In caso di esito negativo lo studente dovrà sostenere di nuovo entrambe le prove.
The exam consists of:
In the written exam (3 hours), the student must show his/her knowledge of the course material answering some test questions and organising an effective and correctly written reply to some exercises. The value (in points) of each exercise will be indicated on the exam sheet and the student must reach at least 16 points (out of 30) to gain access to the oral exam, which the student has to take within the same exam period. During the written exam the student will be allowed to use a basic calculator and to have sheets with basic formulas.
There will be written tests during the course: one after (approximately) half the course and one at the end, before the first summer exam: passing the two tests allows the student to be admitted to the oral exam in any of the exams of the summer session.
In case of positive outcome of the written exam (mark greater than or equal to 18) the student can opt for a simplified oral exam (15/20 minutes) in which he/she will be asked to provide definitions, statements of theorems and to solve exercises but no proofs: in this case the final mark will not exceed the one of the written exam. During the normal oral exam (30 minutes approximately) the student must be able to discuss the exercise of the written exam and to show his/her knowledge of the topics of the course by correctly exposing definitions, theorems and their proofs, thus proving his/her understanding of the course material.
The final mark (for the normal exam) will be the arithmetic mean between the valuation of the written test and the one of the oral exam.
In case of a negative outcome the student will have to take both the written and the oral exam again.
Homepage di Andrea Bandini:
https://sites.google.com/site/banand207/home
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