ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| METODI TOPOLOGICI IN ANALISI GLOBALE | MAT/05 | LEZIONI | 48 |
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Scopo del corso è offrire agli studenti una prospettiva e strumenti di "Analisi globale" ("Global Analysis"), con l'introduzione dei principali metodi topologici della moderna "Analisi non lineare" ("Nonlinear Analysis"), perché siano in grado di inquadrare e studiare problemi 'globali' fra analisi, geometria e fisica matematica. Fra le strutture logico-matematiche che presiedono il mondo fisico, vengono proposte alcune fondamentali strutture topologiche sottese ai fenomeni "non lineari".
The students who successfully complete the course 1)- will be able to demonstrate a solid knowledge of the part of "Degree Theory" in R^N explained during the course (see 1 below), 2)- will be able to demonstrate a solid knowledge of some of the fundamental theorems and techniques of "Nonlinear Analysis" in R^N (see 2 below), 3)- will be able to be master of the subjects they will choose, in accord with the lecturer, among the last part of the matter treated in the course, that is (see 3 below): some further properties of nonlinear maps in R^N, some basic theorems and techniques of "Nonlinear Calculus of Variations" in R^N, some initial and elementary examples (two or three) of nonlinear ordinary differential equations (dynamic elementary systems) that can be approached by previous theorems.
Dato che questi studenti hanno già una certa iniziale maturità matematica e scelgono liberamente un corso impegnativo, durante il corso è possibile svolgere con loro un colloquio costante, non solo nelle esercitazioni ma anche nello svolgimento delle lezioni. È così possibile far emergere i diversi gradi della formazione raggiunta e promuovere un livello universitario adeguato.
A constant colloque with the student during the lessons will be proposed.
Agli studenti viene così offerta concretamente la possibilità di saper inquadrare certi problemi 'globali' fra analisi, geometria e fisica matematica, e di studiarli con l'approccio metodologico appreso. Si intende incoraggiare gli studenti ad affrontare i problemi con apertura mentale senza limitarsi agli schemi che già conoscono, per cearsi propri procedimenti sulla base dell' esperienza maturata.
The opportunity of a scientific growth will be offered to the students in order they will be able to approach some classes of mathematical (or phisical, or .. ) problems with the general methods studied during this course.
La verifica delle capacità avviene nel costante colloquio. Gli studenti che possono già essere chiamati a collaborare al corso, durante le le lezioni e le esercitazioni, e naturalmente attraverso l'esame finale.
A contant coloque during the lessons may offer some important informations about the students. The final oral exame is a profound and decisive colloque.
Il corso richiede impegno, vivo interesse, curiosità e anche il ricorso a una certa 'creatività matematica'. Gli studenti che lo scelgono sono già ben motivati.
Care and creativity are proposed and encouraged.
La verifica si svolge naturalmente durante il corso, nel quale viene incoraggiato un costante colloquio, e ovviamente durante l'esame.
A contant colloque during the lessons.
E` necessario aver assimilato le nozioni di Analisi Matematica fornite nei corsi dei primi due anni e le collegate nozioni elementari di algebra lineare e di topologia elementare.
Basic notions in Mathematical Analysis are requested (R^N, calculus, implicit functions theorem, ... ) and elementary notions related with linear spaces, Banach spaces and Hilbert spaces.
Viene incoraggiata la analisi critica e la ricerca di strutture logiche unificanti, nello studio del filo logico, progressivamente emerso nel Novecento, che collega numerosi importanti problemi di analisi non lineare di tipo globale.
Dialog and critical comments are encouraged.
Il corso verte su alcuni fondamentali teoremi "globali" fra analisi e geometria, particolarmente importanti nella moderna "analisi non lineare". Il "grado" è lo strumento matematico che permette di affrontare questi teoremi e molti problemi "non lineari", inserendoli in una struttura logica unitaria. Problemi di questo tipo saranno effettivamente affrontati, comprese alcune "applicazioni" (facoltative) di tipo fisico-matematico collegate ai grandi "principii variazionali" esistenti in natura.
Per coloro che vogliono farsi una idea più concreta del corso vediamo ora qualcuno dei concetti e dei problemi presentati nel programma, per mostrare come essi vengono inseriti in una stessa struttura logico matematica.
- Definizione del grado modulo 2 e studio delle sue proprietà.
- Teorema Se A è un sottoinsieme aperto e limitato di RN e F è una mappa continua della chiusura di A in RN tale che F(x) = x per ogni x del bordo di A, allora F(A) contiene A.
- Teorema del punto fisso di Brouwer (L. E. J. Brouwer 1881 - 1966):
Se K è uno spazio topologico compatto omeomorfo ad una palla chiusa in RN e se F è una applicazione continua di K in sé, allora esiste x in K tale che F(x) = x.
- Teorema Se A è un sottoinsieme aperto e limitato di RN, il bordo di A non è contrattile in sé.
- Definizione del grado come intero relativo e studio delle sue proprietà.
- Teorema (Autovalori non lineari - 1): Se N è dispari allora per ogni mappa continua della sfera S di RN in RN esistono x in S e a in R tale che F(x) = a x.
Per esempio: Una palla di pelouche non è "pettinabile".
- Teorema di Borsuk-Ulam (K. Borsuk, 1905 - 1982; S. Ulam, 1909 - 1984)
Se A è un sottoinsieme aperto di RN, che contenga l'origine e sia limitato e simmetrico rispetto ad essa, e se F è una mappa continua del bordo di A in un sottospazio proprio di RN, allora esiste un punto x del bordo di A tale che F(x) = F(-x).
Per esempio: se si schiaccia un pallone esistono due sui punti esattamente opposti che finiscono nello stesso punto.
- Elementi basilari del Calcolo della Variazioni non lineare, e alcuni teoremi tipici, fra i quali:
- Il teorema della sella e il teorema di linking
- Alcuni invarianti topologici nel Calcolo delle Variazioni non lineare. In particolare il 'genere' e la 'categoria' di Lusternik e Schnirelman. Alcune conseguenze, fra le quali:
- Teorema (Autovalori non lineari - 2): Se F è una mappa continua e dispari definita sulla sfera S di RN, che sia gradiente di una funzione reale e 'pari' f , esistono x1, x2, ... xN in S e a1, ... aN in R tali che F(xi) = ai xi. (Con la stessa struttura logica del 'genere' viene mostrato un enunciato ben più generale.)
- A seconda delle esigenze didattiche emerse nel corso potrà essere introdotta anche la teoria generale dell'indice, con un cenno particolare all'indice di tipo S^1.
Il programma prevede infine che ogni studente possa scegliere per il proprioprogramma di esame uno dei due argomenti:
1 - La proprieta moltiplicativa del grado e alcuni suoi sviluppi, fra i quali:
- Teorema della applicazione aperta: se F è una applicazione iniettiva e continua dell'insieme aperto A in RN a valori in RN allora F manda aperti in aperti.
- Teorema di Jordan in RN (versione di Jean Leray) Due compatti omeomofi, K e L, in RN dividono lo spazio nello stesso numero, finito o no, di componenti connesse limitate.
In particolare se K è la sfera, allora RN \ L ha due e due sole componenti connesse, una limitata e l'altra no.
2 - Esempi elementari nello studio dell'equazione della dinamica, riguardo alle traiettorie di un punto materiale in un campo conservativo. Questi risultati vengono inquadrati e ottenuti nell'ambito del Calcolo delle Variazioni non lineare.
1)- The notion of degree deg(y,A, Omega) and some its foundamental properties will be introduced for continuous maps in R^N defined on the closure of an arbitrary bounded subset Omega of R^N. This procedure will consist in certain number of steps.
2)- The following fundamental theorems, among others, will be studied: - Brouwer fixed point theorem and some extended versions of it, - an arbitrary open bounded subset Omega in R^N is not retractible on its boundary, - if N is even S^N don't admits a C^1 field of nonzero tangent vectors, - Borsuk theorem.
3)- In the last part of the course some optional subjects will be discussed, by means of some theorems proved in the previous part, say: - multiplicative property of the degree in R^N, open map theorem, Jordan theorem in R^N (a fine version by Leray) , - mountain pass theorem, saddle theorem, linking theorem, -Lusternik and Schinerlmann theorem for even functions on S^N, by means of the "genus"- some initial examples (two or three) of nonlinear elementary ordinary differential equations.
Testo consigliato: durante il corso vengono messe a disposizione le dispense del corso, che ogni anno vengono aggiornate e seconda del programma svolto.
Testi utili per ulteriori prospettive in "Analisi non lineare":
- Jacob T. Schwartz, "Nonlinear Functional Analysis", Gordon and Breach
- Michael Struwe, "Variational Methods", Springer
- Jean Mawhin, Michel Willem, "Critical Point Theory and Hamilton Systems", Springer-Verlag
- Ladyzhenskaya Ural'tseva, "Linear and Quasilinear Elliptic Equations", Academic Press (è un libro degli anni '60 ma molto istruttivo per chi volesse constatare la forza dei metodi topologici nello studio dei problemi dierenziali non lineari)
A file containing lectures and some related topics will be available . Some wider perspectives can be find in the following books:
- Jacob T. Schwartz, "Nonlinear Functional Analysis", Gordon and Breach
- Michael Struwe, "Variational Methods", Springer
- Jean Mawhin, Michel Willem, "Critical Point Theory and Hamilton Systems", Springer-Verlag
- Ladyzhenskaya Ural'tseva, "Linear and Quasilinear Elliptic Equations", Academic Press
(This last book, edited in the sixties, is very instructive for people who would study nonlinear differential equations by means of topological methods)
Le dispense del corso sono scritte con un marcato scopo didattico, cercando di fare qualche cenno ai "significati" degli argomenti in una prospettiva generale. Ma chi non potesse frequentare regolarmente il corso è vivamente consigliato di rivolgersi di frequente al titolare per avere, oltre alle eventuali spiegazioni tecniche, una verifica della propria padronanza del senso e della prospettiva del suo studio.
A file containing lectures and some related topics will be available.
L'esame è costituito dalla prova orale, la quale consiste in una approfondita discussione nell'ambito degli argomenti considerati nel corso, volta a sondare la comprensione della materia e la acquisita maturazione scientifica.
In particolare in questa occasione gli studenti sono incoraggiati a esplicare la propria autonomia di riflessione e di ricerca, al cui sviluppo è orientato tutto lo svolgimento del corso.
The final exam is an oral exam. During the oral exam the student is asked to demonstrate an appropriate knowledge of the course material, including the optional part, and his ability in discussing the reading matter thoughtfully and with propriety of expression.
