ECTS - University of Pisa
Lo studente al termine del corso avrà acquisito conoscenze di base su alcuni elementi di teoria della misura di interesse per la probabilità, dei principali teoremi limite e della teoria delle catene di Markov.
Students are expected to acquire a basic knowledge of some elements of measure theory of interest for the theory of probability, of the main limit theorems and of the theory of Markov chains.
Lo studente sarà valutato riguardo la sua abilità di risolvere esercizi sugli elementi della teoria discussi nel corso, di formulare i risultati più importanti del corso e saperli dimostrare, di discutere i concetti principali esaminati durante le lezioni.
The student will be assessed on his/her demonstrated ability to solve exercises on the course topics, to give precise statements and proofs of the main results and to discuss the concepts given in the lectures.
Al termine del corso lo studente sarà in grado di comprendere rigorosamente argomenti di base di probabilità. Lo studente sarà inoltre in grado di impostare e risolvere semplici problemi relativi a tali argomenti.
At the end of the course the student wil be able to understand rigorously basic topics of probability. Moreover, the student will be able to solve simple problems on such topics.
La capacità dello studente di risolvere semplici problemi sugli argomenti del corso sarà verificata attraverso un test scritto. Nella prova orale sarà verificata la capacità di comprensione, di dimostrazione e di elaborazione degli argomenti analizzati.
The ability of the student to solve simple exercises on the course topics will be verified through a written test. The capacity of understanding, of providing proofs, and of elaborating the topics of the course will be the subject of the oral exam.
Il corso permetterà di affrontare problemi semplici di natura probabilistica.
The student will be able to manage complex problem of probabilistic nature.
Nel corso degli esami agli studenti sarà richiesto di suggerire autonomamente soluzioni a problemi e esempi dei concetti principali del corso.
During the exams the student wil be asked to suggest solutions to problems and provide examples of the main ideas of the course.
Lo studente deve avere padronanza degli argomenti di base della probabilità quali quelli forniti dal corso di "Elementi di Probabilità e Statistica", così come di elementi dei corsi di analisi e algebra lineare del biennio.
The student should master of the basic arguments of probability (such as basic probability, random variables, etc), as those contained in the course "Basic probability and Statistics", as well as basic elements of analysis and linear algebra of the first two years.
Il corso prevede lezioni frontali sia per la parte teorica che per la parte di esercizi. La frequenza è consigliata. Ci si aspetta che lo studente frequenti le lezioni e a questo affianchi un tempo sufficiente per lo studio individuale.
The course is delivered face-to-face for both the theoretical part and for the exercise sessions. Attendance is highly recommended. The student is expected to attend lectures and devote a sufficient amount of time to individual study.
Costruzione di una probabilità e dell'integrale rispetto a una probabilità. Indipendenza di variabili aleatorie, lemmi di Borel-Cantelli e Legge 0-1 di Kolmogorov. Convergenza di variabili aleatorie e convergenza di probabilità, criterio di Prohorov. La funzione caratteristica e legame con la convergenza in legge. Teoremi limite: leggi dei grandi numeri e Teoremi limite centrale. Speranza condizionale e sue proprietà. Catene di Markov.
Measure theory, integration, random variables, expected value, independence, 0-1 laws, Borel-Cantelli arguments. Law, characteristic function, convergence of random variables, tightness. Laws of large numbers, central limit theorem. Conditional expectation. Markov chains.
Gli argomenti del corso sono tratti dalle seguenti opere, che sono letture raccomandate:
The course lectures cover all of the material and are taken from the following works that are also recommended readings:
The exam is divided in two parts: written and oral exam. The written exam consists in solving, with proofs, at most 3-4 problems.
The oral exam consists tipically in three questions. The first regards the knowledge of the main results of the course and their proof. The second regards the knowledge of the main definitions ans concepts, the third wishes to verify the mastery of the main concepts through suitable examples.
L'esame è composto da una prova scritta e una prova orale. La prova scritta consiste nella risoluzione di al più 3-4 problemi, sviluppati su più quesiti, in forma dimostrativa.
La prova orale consiste in un colloquio che prevede tipicamente tre domande, volte a verificare la conoscenza dei risultati illustrati nel corso e delle loro dimostrazioni, dei concetti e delle definizioni principali, e la padronanza di tali concetti attraverso esempi illustrativi.
Il materiale del corso sarà disponibile sulla pagina e-learning del corso.
Course material will be available on the e-learning page of the course.
