ECTS - University of Pisa
Il Corso si propone di fornire una solida preparazione di base necessaria per affrontare i corsi successivi del corso di laurea. Alla fine del corso lo studente dovrà conoscere gli strumenti matematici necessari per la comprensione dei modelli economici che gli/le verranno presentati nei corsi avanzati di economia.
The course aims at providing a solid background in mathematics for economic studies. Particular attention will be given to economic applications. At the end of the course, the student will extend his/her mathematical knowledge related most of the mathematical tools he/she will meet in his/her advanced economic courses.
Le conoscenze dello studente saranno verificate mediante lo svolgimento di una prova scritta.
Student's knowledge will be verified by means of a written exam
Alla fine del corso, lo studente dovrà acquisire una notevole padronanza degli strumenti matematici presentati nel corso. Tale competenza sarà di ausilio nella comprensione ed assimilazione dei successivi corsi presenti nel corso di studio, con particolare riferimento a quelli di area economica e statistica. Inoltre lo studente dovrà essere capace di:
At the end of the course, the student will be more confident in his/her mathematical abilities. This skill will help him/her in the other courses of his/her master program.
Moreover, he/she will be able to
Durante la prova scritta, lo studente dovrà risolvere con accuratezza gli esercizi ed enunciare e dimostrare in modo rigoroso alcuni teoremi presentati durante il corso. La capacità di mettere in relazione gli aspetti teorici necessari per lo svolgimento degli esercizi sarà oggetto di specifica valutazione così come l’utilizzo di una terminologia ed un linguaggio matematico appropriato. Inoltre, allo studente è richiesto di saper usare gli strumenti matematici imparati per “leggere” ed interpretare i modelli economici.
During the exam, the student is required to solve exercises and to prove theorems with accuracy. The ability of finding the connection between theory and exercises will be evaluated. The student is supposed to use a good and proper mathematical language and to use the learnt mathematical instruments to deeply understand economic models.
Alla fine del corso, lo studente vedrà consolidate le sue abilità nel comprendere, formalizzare e risolvere un problema secondo il linguaggio ed il rigore propri della matematica. Inoltre dovrà acquisire una preparazione matematica necessaria a formalizzare, sviluppare ed interpretare i modelli economici.
The student will enhance his/her major understandings, representational abilities, computational abilities and reasoning ones. Moreover he/she will acquire a solid mathematical background to formalize, develop and interpret economic models.
Durante l’esame, lo studente dovrà dimostrare le sue capacità di applicare i concetti matematici che ha imparato nel corso.
During the exams, the student should demonstrate his/her ability to apply the mathematical concepts he/she has learned.
Funzioni ad una e due variabile.
Nozioni base di algebra lineare (matrici e sistemi lineari)
Nozioni base riguardanti equazioni differenziali ed alle differenze.
Students are supposed to be familiar with the topics usually taught in basic course on Calculus and Elementary linear Algebra. Knowledge on differential and difference equations is also advised.
Metodo di insegnamento: lezioni frontali (fortemente consigliate).
Attività per l’ apprendimento: frequenza alle lezioni ed esercitazioni, studio individuale
La frequenza non è obbligatoria, ma consigliata.
Delivery: face to face
Learning activities:
attending lectures
individual study
Attendance: Advised
Teaching methods: Lectures
Part I. Topologia, teoremi di punto fisso e teoremi di separazione
- Spazi Euclidei: successioni in R ed in Rn. Topologia in Rn: compattezza, completezza.
- Funzioni continue su Rn. Funzioni continue su insiemi compatti.
- Corrispondenze, teoremi del valore massimo e teoremi di punto fisso.
- Insiemi convessi e teoremi di separazioni.
Part II – Algebra lineare
- Spazi vettoriali. Matrici. Determinante di una matrice.
- Autovalori e autovettori.
- Funzioni lineari su spazi vettoriali. Funzioni lineari e matrici
Part III Funzioni di più variabili in Rn
- Gradiente e derivate direzionali.
- Differenziabilità e differenziale di una funzione.
- Formula di Taylor.
- Teorema di Eulero.
Part IV - Ottimizzazione statica
- Teorema della funzione implicita: applicazioni.
- Ottimizzazione libera
- Ottimizzazione vincolata: vincoli di uguaglianza. Moltiplicatori di Lagrange.
- Ottimizzazione vincolata: vincoli di disuguaglianza. Moltiplicatori di Lagrange.
- Convessità generalizzata.
- Teorema dell’inviluppo.
Part V- Sistemi dinamici
- Sistemi di equazioni alle differenze.
- Sistemi di equazioni differenziali.
- Applicazioni economiche.
Part VI - Ottimizzazione dinamica
Part I. Topology, Fixed point theorem and separation
- The Euclidean spaces. Sequences and series in R and in Rn. Topology in Rn: compactness,
completeness.
- Continuous functions on metric spaces. Continuous functions on compact sets.
- Correspondence and fixed point theorems. Maximum value theorems.
- Convex sets and separation theorems
Part II – Linear Algebra
- Vector spaces. Matrices. Determinant of a matrix.
- Eigenvector and eigenvalues.
- Linear Functions. Linear Functions and Matrices.
Part III Topics on Multivariable Calculus
- Gradients and Directional Derivatives.
- Differentiability and differential of a function.
- Taylor's formula.
- Euler's Theorem.
Part IV - Static optmization
- Implicit function theorem: applications.
- Unconstrained optimization.
- Optimization with equality constraints: Lagrange multipliers method.
- Optimization with inequality constraints: Kuhn-Tucker theorem.
- Generalized Convexity.
- Envelope theorems.
Part V- Dynamical systems
- System of difference equations.
- Systems of differential equations.
- Economic applications.
Part VI - Dynamic optmization
- Review of Reimann Integration.
- Optimality for continuous-time problems: Optimal Control by Maximum Principle with several final conditions.
- Optimality for problems in discrete time: Maximum principle and outline of dynamic programming: Bellman equation and Euler equation.
Testi consigliati per la consultazione
Optional readings
L'esame è composto da una prova scritta che si svolgerà in presenza. Consiste nello svolgimento di esercizi sugli argomenti del corso. Allo studente è richiesto di enunciare e dimostrare in modo rigoroso alcuni tra i teoremi presentati in classe. La prova è suddivisa in due parti: la prima riguarda Topologia ed Algebra Lineare, mentre la seconda è relativa al resto del programma. La prova è sufficiente se lo studente raggiuge almeno 7 punti su ciascuna parte ed un punteggio complessivo di 18.
In the written exam, the student must demonstrate his/her knowledge of the course material and his/her ability to solve mathematical problems.
Methods: Final written exam
The exam will be held in classroom
Further information:
The exam is written. The student is required to solve exercises and to answer theoretical questions.
The exam is divided in two parts: the first part is about Topology and Liner Algebra and the second part concerns the remainder of the program. The student will be successful only if he/she gets at least 7 points in each part and a global mark of 18.
