ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| INVERSE PROBLEMS IN GEOPHYSICS | GEO/11 | LEZIONI | 48 |
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Obiettivo primario del corso è quello di fornire allo studente le basi teoriche e pratiche per affrontare e risolvere i problemi inversi con particolare riguardo all'ambito geofisico. A tal fine il corso combina sia lezioni frontali in cui vengono introdotti gli aspetti più propriamente teorico/matematici, con esercitazioni pratiche di laboratorio nelle quali il problema inverso viene affrontato dal lato pratico/implementativo mediante l’uso del linguaggio di programmazione Matlab. Particolare attenzione sarà rivolta nell’associare gli aspetti più matematici e teorici con i loro risvolti e significati pratici. Per questo durante le lezioni si introdurranno numerosi esempi applicativi che spaziano dalla deconvoluzione, all’inversione di dati sismici a esempi di tomografia sismica. Il corso focalizzerà l’attenzione sopratutto sui problemi inversi lineari sia perché molto diffusi in ambito geofisico sia perché la loro comprensione è fondamentale per risolvere i problemi non lineari.
The primary objective of the course is to provide the student with the theoretical and practical bases to face and solve the inverse problems with particular regard to the geophysical field. To this end, the course combines both lectures, in which the more specifically theoretical / mathematical aspects are introduced, with practical laboratory exercises in which the inverse problem is described on the practical / implementation side through the use of the Matlab programming language. Particular attention will be paid in associating the most mathematical and theoretical aspects with their practical implications and meanings. For this reason, during the lessons many applicative examples will be introduced, ranging from deconvolution, to the inversion of seismic data to examples of seismic tomography. The course will focus on the linear inverse problems both because they are very widespread in the geophysical field and because their understanding is fundamental to solve the non-linear problems.
la verifica delle conoscenze verrà effettuata in sede d'esame mediante prova scritta da risolvere tramite Matlab che certificherà le capacità pratica dello studente nel risolvere mediante strumenti informatici un problema inverso. La successiva prova orale ha l'obbiettivo di verificare il grado di padronanza e comprensione raggiunto dallo studente sulla parte più propriamente teorica.
The verification of the knowledge will be carried out during the exam by means of a written test to be solved by Matlab which will certify the student's practical skills in solving an inverse problem through a programming language. The subsequent oral examination aims to verify the degree of mastery and comprehension achieved by the student on the theoretical part.
Lo studente sarà in grado di risolvere problemi inversi tramite linguaggio Matlab ed avrà acquisito le basi fondamentali per risolvere problemi classici di inversione geofisica lineari e non lineari. Le basi teoriche/pratiche acquisite potranno essere inoltre utilizzate per futuri approfondimenti nel campo dell'inversione di dati geofisici.
The student will be able to solve inverse problems using the Matlab language and will acquire the fundamental bases for solving linear and non linear geophysical inverse problems. The theoretical / practical bases acquired can also be used for future investigations in the field of the inversion of geophysical data.
Saranno svolte lezioni pratiche di risoluzione di problemi inversi tramite codici scritti in linguaggio Matlab
Practical lessons aimed at solving inverse problems will be carried out using codes written in Matlab language
Lo studente acquisirà competenze teoriche e pratiche circa le problematiche (es. ambiguità soluzione, instabilità inversione) inerenti alla risoluzione di problemi inversi in ambito geofisico.
The student will acquire theoretical and practical skills about inverse problems (eg solution ambiguity, inversion instability) with a particular focus on the geophysical field.
Saranno svolte lezioni pratiche di risoluzione di problemi inversi tramite codici scritti in linguaggio Matlab
Practical lessons aimed at solving inverse problems will be carried out using codes written in Matlab language
Conoscenze pregresse di analisi matematica ed algebra lineare.
Capacità di programmare in linguaggio Matlab.
Prior knowledge of mathematical analysis and linear algebra.
Ability to program in Matlab language.
Fitting lineare come problema inverso: norma di un vettore e suo significato nel risolvere un problema inverso, soluzione ai minimi quadrati, soluzione ai minimi quadrati come soluzione di massima verosimiglianza, pesatura outliers e soluzione in norma L1, regressioni vincolate mediante moltiplicatori di Lagrange. Propagazione degli errori dallo spazio dei dati allo spazio dei modelli. Stabilità di un problema inverso e problemi mal-condizionati. Problemi inversi sovra-, sotto-, esattamente determinati e a determinazione mista, soluzione in minima norma nello spazio dei modelli, regolarizzazione di Tikhonov. Inserimento vincoli nell’inversione: soluzione ai minimi quadrati smorzati, vincoli di smoothness, e minimi quadrati pesati. Analisi di sensitività: matrici di risoluzione del dato, del modello e di covarianza. La decomposizione ai valori singolari come strumento per risolvere un problema inverso. Cenni di approccio Bayesiano ai problemi inversi e di risoluzione di problemi inversi non lineari.
Linear fitting as an inverse problem: vector norm and its meaning in solving an inverse problem, least squares solution, least squares solution as a maximum likelihood solution, weighing outliers and solution in L1 norm, regressions constrained by Lagrange multipliers. Propagation of errors from data space to model space. Stability of an inverse problem and ill-conditioned problems. over-, under-, exactly determined and mixed determinated inverse problems, minimum norm solution in the model space, Tikhonov regularization. Insertion of additional constraints: the damped least squares solution, smoothness constraints, and weighted least squares. Sensitivity analysis: data resolution, model and covariance matrices. Singular values decomposition as a tool to solve inverse problems. Overview of the Bayesian approach to inverse problems and of solutions of non-linear inverse problems.
Aster, R., Borchers, B., and Thurber, C. (2005). Parameter estimation and inverse problems: Elsevier academic press. Burlington, Massachusetts.
Menke, W. (1984). Geophysical data analysis: Discrete inverse theory. Academic Press, New York.
Richardson, R.M, and Zandt G (2003). Inverse problems in geophysics. Lecture Notes, University of Arizona. Scaricabile gratuitamente dal web.
Tarantola, A. (2005). Inverse problem theory and methods for model parameter estimation. Siam.
Duijndam, A.J.W. (1987). Detailed Bayesian inversion of seismic data. Technische Universiteit Delft.
Ulteriore materiale didattico sarà fornito dal docente.
Aster, R., Borchers, B., and Thurber, C. (2005). Parameter estimation and inverse problems: Elsevier academic press. Burlington, Massachusetts.
Menke, W. (1984). Geophysical data analysis: Discrete inverse theory. Academic Press, New York.
Richardson, R.M, and Zandt G (2003). Inverse problems in geophysics. Lecture Notes, University of Arizona.
Tarantola, A. (2005). Inverse problem theory and methods for model parameter estimation. Siam.
Duijndam, A.J.W. (1987). Detailed Bayesian inversion of seismic data. Technische Universiteit Delft.
Further material will be provided during the course.
Prova scritta che concerne la risoluzione di un problema inverso tramite uso del linguaggio Matlab e successiva prova orale
an exercise concerning a geophysical inverse problem to be solved using the matlab language followed by an oral exam.
