Algebra lineare, come studiata nel corso  di Geometria del primo anno. Primi elementi di geometria differenziale.

Nessuno.

Nessuno.

Lezioni frontali, con ausilio di slides.

Introduzione: algebra di Lie associata ad un gruppo di Lie. Le azioni aggiunte Ad e ad. Forme bilineari e invarianza.

Algebre risolubili, prime propriet\`a. Il teorema di Lie. Algebre torali massimali e splitting della complessificazione di un'algebra di Lie semisemplice compatta come somma dei suoi spazi peso rispetto alle radici.

Sistemi di radici, diagrammi di Dynkin e loro classificazione completa. Gruppi di Weyl.

Come si ottiene il sistema di radici di un'algebra di Lie semisemplice complessa. Confronti fra metodo geometrico (visto per i gruppi compatti) e algebrico di ottenere un sistema di radici. Corollario: dimostrazione del teorema di classificazione delle algebre di Lie compatte reali. Informazioni sul fatto che questo si estende al teorema di classificazione delle algebre di Lie semisemplici complesse.

 Algebre tensoriali e simmetriche. L'algebra inviluppante di un'algebra di Lie, il teorema di Poincar\`e-Birkhoff-Witt e corollari.

 Azioni dell'algebra inviluppante. Dimostrazione del teorema di Poincar\`e Birkhoff Witt.

 Rappresentazioni di un'algebra di Lie semisemplice complessa. Spazi peso. Moduli standard ciclici e loro caratterizzazione. Teorema: ad ogni elemento nel duale della sottoalgebra torale corrisponde un unico modulo standard ciclico irriducibile.

Teorema di classificazione completa delle rappresentazioni irriducibili complesse di dimensione finita di un'algebra di Lie semisemplice complessa. Esempi: rappresentazioni di $sl(n,C)$ nell'algebra esterna e nell'algebra simmetrica.

 Cenni su: decomposizione di Levi, Teorema di Levi-Malcev, Teorema di Ado, rappresentazioni irriducibili di algebre di Lie non semisemplici.

Humphreys, Introduction to Lie Algebreas and Representation Theory, Springer.

Knapp, Lie groups beyond an introductio, Birkhauser.

Warner, Foundation of differentiable manifolds and Lie groups, Springer.

Nessuna.

Esame orale.

Nessuno.