Academic year2023/24
CoursePHYSICS
Code637AA
Credits6
PeriodSemester 1
LanguageItalian
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) |
| COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA | MAT/05 | LEZIONI | 48 | |
Obiettivi di apprendimento
Conoscenze
Al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni di base del calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili.
Knowledge
By the end of the course students will acquire the basic notions concerning differential and integral calculus for multi-variable functions.
Modalità di verifica delle conoscenze
L'acquisizione delle conoscenze sarà verificata tramite esercizi in un esame scritto e domande dirette in un esame orale.
Assessment criteria of knowledge
Knowledge acquisition will be assessed with exercises in a written exam and direct questions during an oral exam.
Prerequisiti (conoscenze iniziali)
- Tutto il precorso, in particolare saper disegnare insiemi del piano descritti mediante equazioni e/o disequazioni e saper risolvere sistemi di equazioni.
- Tutto il corso di Analisi Matematica I (studi di funzione, limiti, calcolo integrale).
- Tutto il corso di Algebra Lineare (vettori, geometria analitica nel piano e nello spazio, matrici, forme quadratiche).
Prerequisites
- Basic mathematics, and in particular drawing subsets of the plane described through equations/inequalities, and solving systems of equations.
- Real analysis for one-variable functions (differential calculus, limits, integral calculus).
- Basic linear algebra (vectors, analytic geometry in the plane and in the space, matrices, quadratic forms).
Indicazioni metodologiche
Lezioni registrate con messa a disposizione delle registrazioni.
Teaching methods
Online lectures with available recordings.
Programma (contenuti dell'insegnamento)
Calcolo differenziale in più variabili
- Lo spazio R^n. Vettori e operazioni tra vettori. Norma, distanza, prodotto scalare.
- Funzioni di più variabili e loro grafico. Visualizzazione del grafico per funzioni di due variabili: linee di livello e restrizione alle rette (o curve) passanti per un punto.
- Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Relazione tra il limite ed il limite delle restrizioni.
- Limiti all’infinito per funzioni di più variabili.
- Derivate parziali e direzionali per una funzione di più variabili e loro significato geometrico. Mancanza di relazioni tra l’esistenza delle derivate parziali e direzionali in un punto e la continuità nel punto stesso.
- Differenziale per funzioni di più variabili e sua interpretazione geometrica in termini di (iper)piano tangente al grafico. Relazione tra le derivate direzionali e le derivate parziali per una funzione differenziabile. Gradiente e suo significato geometrico. Teorema del differenziale totale.
- Derivate successive per funzioni di più variabili. Teorema di inversione dell’ordine di derivazione. Formula di Taylor in due o più variabili.
- Massimi e minimi locali e globali per funzioni di più variabili. Se in un punto di massimo o minimo interno una funzione è differenziabile, allora il suo gradiente si annulla.
- Richiami sulle forme quadratiche in più variabili: nozione di forma definita positiva e definita negativa.
- Matrice Hessiana e comportamento locale di una funzione in un intorno di un punto stazionario. Convessità e concavità in più variabili.
- Insiemi compatti in R^n. Teorema di Weierstrass per funzioni di più variabili. Generalizzazioni del teorema di Weierstrass nel caso di insiemi non limitati.
- Massimi e minimi vincolati: metodo delle linee di livello.
- Massimi e minimi vincolati: metodo di parametrizzazione del vincolo.
- Massimi e minimi vincolati: metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
- Calcolo differenziale per funzioni da R^n ad R^m. Matrice Jacobiana.
- Derivazione di funzioni composte. Derivazione di integrali dipendenti da parametro.
- Teorema delle funzioni implicite.
Calcolo integrale in più variabili
- Integrale di Riemann per funzioni di due o tre variabili e suo significato geometrico/fisico.
- Formula di riduzione di un integrale doppio a due integrali semplici mediante sezioni.
- Integrali tripli: formule di riduzione per sezioni e per colonne.
- Sfruttamento delle simmetrie per semplificare il calcolo di integrali doppi o tripli.
- Calcolo di aree, volumi e baricentri mediante integrali doppi e tripli.
- Coordinate polari nel piano. Coordinate cilindriche e sferiche nello spazio. Utilizzo delle coordinate polari e sferiche per il calcolo di integrali multipli.
- Formula generale per il cambio di variabili negli integrali doppi.
- Solidi di rotazione. Teorema di Guldino per il volume dei solidi di rotazione.
- Integrali impropri in più variabili: definizioni e studio della convergenza.
Curve, superfici, calcolo vettoriale
- Curve: definizione. Curve chiuse e semplici. Vettore, versore e retta tangente.
- Lunghezza di una curva: definizione e calcolo.
- Integrali curvilinei (integrale di una funzione lungo una curva).
- Forme differenziali.
- Integrale di una forma differenziale lungo un curva. Forme differenziali esatte e potenziali.
- Insiemi connessi, convessi, stellati, semplicemente connessi. Forme differenziali chiuse. Relazioni tra forme differenziali chiuse ed esatte.
- Superfici: definizioni, versore normale, piano tangente.
- Area di una superficie: definizione e calcolo.
- Teorema di Guldino per il calcolo dell’area di una superficie di rotazione.
- Integrali superficiali (integrale di una funzione su una superficie).
- Operatori differenziali: divergenza, rotore, Laplaciano, gradiente. Relazioni tra gli operatori differenziali.
- Orientazione di una superficie e del suo eventuale bordo.
- Formula di Gauss-Green (teorema della divergenza): enunciati ed applicazioni.
- Formula di Stokes (teorema del rotore): enunciati ed applicazioni.
Syllabus
Differential calculus for multi-variable functions
- The space R^n. Vectors and operations between vectors. Norm, distance, scalar product.
- Multi-variable functions and their graph. Visualizing the graph of functions of two variables: level lines and restrictions to lines (or curves) through a point.
- Limits and continuity for multi-variable functions. Relations between the limit of a function and the limits of the restrictions of the function.
- Limits at infinity for multi-variable functions.
- Partial derivatives and directional derivatives for multi-variable functions. Geometric interpretation. Lack of relations between existence of partial/directional derivatives in a point and continuity in the same point.
- Differential of a multi-variable function and its geometric interpretation in terms of tangent (hyper)plane to the graph. Relations between directional and partial derivatives for a differentiable function. Gradient and its geometric interpretation. Sufficient conditions for differentiability.
- Higher order derivatives for multi-variable functions. Symmetry of second order derivatives. Taylor polynomials in two or more variables.
- Local and global maxima/minima for multi-variable functions. If a function is differentiable in an interior maximum/minimum point, then its gradient vanishes.
- Recalls on multi-variable quadratic forms. Positive definite and negative definite quadratic forms.
- Hessian matrix and behavior of a function in a neighborhood of a stationary point. Convexity and concavity for multi-variable functions.
- Compact subsets of R^n. Weierstrass theorem for multi-variable functions. Generalizations of Weierstrass theorem to unbounded domains.
- Constrained maxima/minima: level sets method.
- Constrained maxima/minima: parametrization of the constraint.
- Constrained maxima/minima: Lagrange multipliers method.
- Differential calculus for functions from R^n to R^m. Jacobian matrix.
- Chain rule for the differential of a composition of functions. Differentiation of parametric integrals.
- Implicit function theorem.
Integral calculus for multi-variable functions
- Riemann integral for functions of two or three variables and its geometrical/physical interpretation.
- Reduction of a double integral to two integrals in one variable through sections.
- Triple integrals: "section-wise" and "column-wise" reduction formulae.
- Exploiting symmetries in order to simplify the computation of double and triple integrals.
- Computation of areas, volumes and barycenters through double and triple integrals.
- Polar coordinates in the plane. Cylindrical and spherical coordinates in the space. Computation of multiple integrals by means of polar, cylindrical, and spherical coordinates.
- General variable change formula for double integrals.
- Solids of revolution. Guldino's theorem for the volume of a revolution solid.
- Improper integrals for multi-variable functions: definitions and discussion of the convergence.
Curves, surfaces, vector calculus
- Definition of curve. Closed and simple curves. Tangent vector, tangent versor and tangent line.
- Length of a curve: definition and computation.
- Line integrals (integral of a function along a line).
- Differential forms.
- Integral of a differential form along a curve. Exact differential forms and potentials.
- Connected, convex, star-shaped, simply connected sets. Closed differential forms. Relations between closed and exact differential forms.
- Surfaces: definitions, normal versor, tangent plane.
- Area of a surface: definition and computation.
- Guldino's theorem for the area of a surface of revolution.
- Surface integrals (integral of a function over a surface).
- Differential operators: divergence, curl, Laplacian, gradient. Relations among differential operators.
- Orientation of a surface and its boundary.
- Gauss-Green's formula (divergence theorem): statements and applications.
- Stokes' formula (curl theorem): statements and applications.
Bibliografia e materiale didattico
Marina Ghisi, Massimo Gobbino. "Analisi Matematica II, Schede ed Esercizi", casa editrice Esculapio.
Bibliography
Marina Ghisi, Massimo Gobbino. "Analisi Matematica II, Schede ed Esercizi", casa editrice Esculapio.
Modalità d'esame
L'esame consisterà di una prova scritta e di una prova orale.
Assessment methods
The exam will consist of a written test and an oral assessment.
Updated: 28/08/2023 17:01
