ECTS - University of Pisa
Gli studenti che superano l'esame avranno una solida conoscenza del calcolo differenziale e integrale di funzioni reali di una o piu' variabili. Saranno in grado di valutare la convergenza di serie e integrali impropri e di risolvere equazioni differenziali lineari di primo e secondo ordine.
The student who successfully completes the course will have a solid knowledge of the main issues related to the differential and integral calculus for real functions of one variable and several variables. The student will also be able to evaluate the convergence of numerical series and improper integrals, to solve differential equation .
Esame scritto e orale.
L'esame scritto consiste nella soluzione di esercizi su studio di funzione e problemi di massimo e minimo; calcolo di limiti e integrali; studio di serie numeriche; risoluzione di equazioni differenziali; problemi sui campi di vettori.
La prova orale richiede che lo studente dimostri anche di aver compreso e assimilato definizioni, enunciati e dimostrazioni presentati nel corso.
The exam has two parts: a written exam and an oral exam. Each part is mandatory for the following one. In the written exam the student has to discuss the method used to solve some mathematical problems. In the oral exam the student must show its knowledge of all the sdefinitions and all the tatements learned in the course and also to develop some of the main proofs. The student has to be able to exhibit examples satisfying specific conditions.
Methods:
Gli studenti che superano l'esame avranno la capacita' di usare i metodi dell'analisi classica in una e in piu' variabili e di applicarla a situzioni concrete. Lo studio dell'analisi matematica dara' allo studente gli strumenti e metodo di lavoro necessari ad affrontare lo studio delle altre materie scientifiche.
Tra le finalita' del corso c'e' quella di stimolare la fantasia e l'apertura mentale a cercare soluzioni rigorose ma non scontate.
The student who successfully completes the course will be able to use classical analysis and to use it to solve specific problems. The course will help students to develop a creative mind.
Esame scritto e orale
L'esame scritto contiene quesiti di vario tipo tra i quali una domanda non standard volta a valutare le capacita' acquisite.
La prova orale richiede, tra le altre cose, che lo studente sappia fornire esempi di situazioni specifiche.
E' consigliato seguire le lezioni ed esercitarsi sugli esercizi proposti in classe o indicati sulla pagina web. Il corso prevede sessioni di esercitazioni di auto-verifica che si svolgeranno in aula: gli studenti sono invitati ad usare questi momenti per fare il punto sulla propria preparazione e, eventualmente, colmare poi le lacune evidenziate, avvalendosi anche dei ricevimenti studenti.
Attendace is advised. Students are recommended to do exercises from the text book and and from the previous years paper and to follow the tutoring sessions.
Nessuna.
None.
Matematica della scuola superiore: Algebra di base: polinomi, equazioni e disequazioni. Teoria elementare degli insiemi e delle funzioni. Proposizioni e connettivi logici. Funzioni elementari. Basi di trigonometria.
Highschool mathematics, as indicated in the programs of the admission test.
Il corso consiste in 144 ore di lezioni frontali divise in 2 semestri. Il modo di apprendimento consigliato consiste in:
-seguire attivamente le lezioni
-partecipare agli incontri di approfondimento e discussione
-studio individuale
-studio con compagni di corso
Delivery: face to face
Learning activities:
Attendance: Advised
Teaching methods:
PRIMO SEMESTRE: Vocabolario della teoria degli insiemi e della logica. Proprieta' delle proposizioni e dei connettivi logici. Implicazioni. I predicati e i quantificatori. Negazione di una proposizione. Le dimostrazioni per assurdo. Significato e propriet`a dei simboli della teoria degli insiemi: appartenenza, contenuto, intersezione, unione e differenza. Il principio di induzione. Il principio di induzione per i predicati (dim.). Il fattoriale ed i coefficienti binomiali. Cenni di calcolo combinatorio. I numeri reali. I numeri interi, razionali e reali. Esistenza degli irrazionali: l’irrazionalita` di radice di 2. Gli assiomi algebrici sui numeri reali. Le operazioni sui reali e loro propriet`a. Gli intervali. L’assioma di continuit`a. L’assioma di Archimede. Insiemi limitati della retta reale. Definizione di massimo e di minimo. Definizione di maggiorante e di minorante. Definizione di estremo superiore e di estremo inferiore. Caratterizzazione dell’estremo superiore ed inferiore. Esistenza dell’estremo superiore ed inferiore nei reali (Dim.). Intervalli di numeri reali. Il valore assoluto e sue propriet`a. La diseguaglianza triangolare (Dim.). Briciole di topologia. Definizione di intorni nella retta reale, intorni destri e sinistri. Definizione di punto di accumulazione. Le funzioni reali. Numenclatura relativa alle funzioni reali: dominio, codominio, immagine, immagine inversa, iniettivit`a, surgettivit`a, funzione inversa, composizione, monotonia, restrizioni. Grafici delle funzioni elementari. Inverse delle funzioni trigonometriche. Definizione di funzione limitata superiormente ed inferiormente. Definizione di estremo superiore ed inferiore di una funzione. Massimi e minimi di funzioni. Caratterizzazione dell’estremo superiore ed inferiore di una funzione. Definizione di successione reale e di successione estratta. Funzioni continue. Definizione di funzione continua mediante ε, δ e mediante gli intorni. (Dim.). Struttura lineare e algebra delle funzioni continue (continiut`a della somma, del prodotto, ecc. , di funzioni continue) (Dim.). Teorema della permamenza del segno (Dim.). Continuit`a della composta di funzioni continue. Teorema degli zeri (Dim.). Teorema dei valori intermedi (Dim.). Teorema di Weierstrass. Enunciato del teorema sulla continuit`a dell’inversa di una funzione continua. Definizione di funzione uniformemente continua. Enunciato sull’unifome continuit`a delle funzioni continue definite su un intervallo limitato e chiuso. Limiti di funzioni. Definizione generale di limite di funzione e sua esplicitazione nei vari casi (limite finito, infinito, ecc.). Operazioni con i limiti (Dim.). Casi di indeterminazione. Teorema della permanenza del segno (Dim.). Teorema di unicit`a del limite (Dim.). Teoremi del confronto e dei carabinieri (Dim.). Es empi di calcolo di alcuni limiti notevoli. Limite destro e sinistro. Teorema sui limiti di funzioni monotone (Dim.). Esempi di calcolo degli asintoti di una funzione. Il simbolo di Landau. L’algebra degli o-piccoli. Utilizzazione del simbolo di Landau per il calcolo dei limiti. Limiti di successioni. Definizione di limite di una successione. Definizione di sottosuccessione o successione estratta. Le successioni convergenti sono limitate (Dim.). Da ogni successione limitata si puo’ estrarre una successione convergente. Teorema sui limiti di successioni monotone (Dim.). Il numero e. Le successioni definite per ricorrenza. Il calcolo differenziale. Definizione di differenziale e di derivata. Continuit`a delle funzioni derivabili (Dim.) Teoremi sulle operazioni con le derivate (Dim.). Derivazione di una funzione composta (Dim.). Derivazione dell’inversa di una funzione (Dim.). Definizione di massimo e di minimo relativo. Terema sulla derivata in un punto di massimo o diminimo relativo (Dim.). Calcolo dei massimi e dei minimi assoluti di una funzi one. Dimostrazione dei teoremi di Rolle e di Lagrange. Teorema sulla funzione che ha la derivata nulla su di un intervallo (Dim.). Il teorema sulle primitive (Dim.). Relazione tra segno della derivata e mono tonia della funzione (Dim.). I teoremi dell’Hospital. Le derivate seconde. Definizione di funzione convessa. Legame tra derivata seconda e convessit`a di una funzione. Dimostrazione del teorema sulle derivate seconde nei punti st azionari. Legametra retta tangente e funzione convessa. Studio del grafico di una funzione. La formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange. Metodo delle corde e delle tangenti per il calcolo delle radici di un’equazione algebrica. L’ integrale. Definizione di integrale di Riemann. Propriet`a delle funzioni integrabili (integrale della somma, ecc.). Integrabilit`a delle funzioni continue. Il teorema della media integrale (Dim.).Il teorema fondamentrale delcalcolo integrale (Dim.). Teorema di Torricelli (Dim.). Cambiamento divariabile negli integrali (integrale per sostituzione). Formula per l’integrazione per parti (Dim.). Calcolo degli integrali di funzioni razionali, di funzioni dipendenti da funzioni trigonometriche ed esponenziali, integrali di funzioni in cui compaionoradici. Calcolo di integrali in cui compaiono funzioni irrazionali quali il logaritmo, arcotangente, arcoseno, arcocoseno, o le funzioni iperboliche. Definizione di integrale generalizzato e sue propriet ́a. Serie numeriche. Definizione di serie convergente, divergente, indeterminata, assolutamente convergente. Alcune serie notevoli: la serie geometrica, la serie armonica. Condizione necessaria per la convergenza di una serie `e che il termine generale sia infinitesimo (Dim.). Criterio della convergenza assoluta. Criterio di Leibniz per le serie a termini si segno alterno. Criteri di convergenza per le serie a termini positivi: criterio del confronto (Dim.), criteriodel rapporto (Dim.), criterio della radice ennesima (Dim.), del confronto asintotico (Dim.). Criterio integraleper la convergenza di una serie (Dim.)
SECONDO SEMESTRE: 1) Topologia e metrica in R^n: Punti esterni, interni e di frontiera di un sottoinsieme di uno spazio euclideo. Insiemi aperti e chiusi di uno spazio euclideo. Proprietà degli insiemi aperti e chiusi. Insiemi chiusi per successioni.Insiemi compatti. Compatti di R^n. 2)Calcolo infinitesimale in più variabili: Definizione di limite di una funzione a più variabili (per successione e con il formalismo epsilon-delta). Continuità. Teoremi del calcolo che si trasportano a più variabili in maniera banale (proprietà dei limiti, permanenza del segno, confronto, continuità delle funzioni elementari). Teorema di Weiestrass in più variabili. Esercizi su limiti e continuità. Definizione di derivata parziale e derivata direzionale per una funzione di più variabili. Definizione di differenziale. Vettore gradiente. Rapporto tra continuità, differenziabilità e derivabilità. Teorema del differenziale totale. Differenziale di funzione di due variabili e piano tangente. Sviluppi di Taylor al primo ordine. Teorema di Fermat. Derivate parziali di ordine 2 o superiore. Theorema di Schwarz. Hessiano di una funzione. Classificazione dei punti critici. Rapporto tra punti critici e punti estremali. Sviluppi di Taylor al secondo ordine, concavità e convessità di una funzione di più variabili. Studio di funzione. Funzioni a valori vettoriali. Continuità e differenziabilità per funzioni a valori vettoriali, Matrice Jacobiana. Differenziale di funzione composta. Regola di derivazione a catena (chain rule), applicazione alla derivata di una funzione lungo una curva e al passaggio in coordinate polari. Ricerca di massimi e minimi vincolati. Varianti del teorema di Weierstrass su insiemi non compatti. 3) Calcolo differenziale su curve e superfici: Cenni di teoria delle curve. Sostegno di una curva, curve chiuse, semplici, regolari. Derivata di una funzione lungo una curva. Definizione di superficie parametrica. Piano tangente e vettore normale. Esempio della sfera. Parametrizzazioni di grafici di funzioni di due variabili e di superfici di rotazione. In una superficie definita come luogo di zeri di una funzione g, il gradiente di g è ortogonale alla superficie. Teorema del Dini o di funzione implicita in due variabili. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in due o tre variabili. Teorema della funzione implicita in forma generale (senza dim) Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in forma generale. 4) Calcolo integrale: Definizione di Integrale di Riemann. Integrazione su insiemi semplici. Proprietà degli integrali: monotonia e linearità rispetto all'integrando, additività e monotonia rispetto al dominio. Teorema della media. Teorema di derivazione sotto il segno di integrale. Integrali multipli: integrazione iterata. Volume dei solidi di rotazione. Cambio di variabili e invertibilità locale e globale di funzioni. Teorema di invertibilità locale (senza dimostrazione) Cambio di variabile negli integrali doppi e tripli. 5) Calcolo integrale su curve e superfici: Lunghezza di una curva. Definizione di integrale curvilineo. Invarianza dell'integrale per cambio di parametrizzazione Definizione di area di una superficie. Area di una superficie parametrizzata come grafico e di superfici di rotazione. Definizione di integrale di superficie. Rapporto tra integrali di superficie e integrale doppi. 6) Teoria dei campi: Definizione di campo vettoriale e di lavoro di un campo vettoriale lungo una cammino. Campi conservativi e potenziale di un campo. Lavoro in un campo conservativo. Operatori differenziali su campi di vettori: rotore e divergenza. Campi irrotazionali. Insiemi connessi e semplicemente connessi. Campi irrotazionali su insiemi semplicemente connessi. Ricerca dei potenziali per un campo. Criteri per capire se un campo irrotazionale è anche conservativo. Teorema di Gauss Green per campi irrotazionali. Teorema di Gauss Green. Superfici orientabili e orientazione di una superficie e del suo bordo. Teorema di Stokes. Rapporto tra teorema di Stokes e teorema di Gauss-Green.Flusso di un campo attraverso una superficie. Teorema della divergenza o di Gauss. 7) Equazioni differenziali: definizione e primi esempi. Teorema di esistenza e unicità locale. Equazioni lineari omogenei e non omogenei. Equazioni lineari di ordine 2 a coefficienti costanti. Equazioni lineari a coefficienti costanti con risonanza. Equazioni lineari del primo ordine a coefficienti non costanti: formula risolutiva. Equazioni a variabili separabili.
Limits, continuous functions, derivatives, Taylor expansions, integrals, numerical series, improper integrals.
1) Topology and Metric Spaces: External, internal, and border points of a subset of an Euclidean space. Open and closed sets of an Euclidean space. Properties of open and closed sets. Sequentially Closed sets. Compact sets. Compact sets of Rn. 2) Infinitesimal Calculation in Several Variables: Definition of limit for a Function Limit of Several Variables. Continuity. Calculus theorems that are a trivial extension of one-variable theoremsy (limit properties, sign permanence, comparison, continuity of elementary functions). Weiestrass theorem in multiple variables with proof. Definition of partial derivative and derivative for a function of multiple variables. Definition of differential. Gradient vector. Relationship between continuity, differentiation and derivability. Total differential theorem. Differential function of two variables and tangent plane. Taylor's first-order developments. Fermat theorem (with proof). Partial derivatives of order 2 or more. Schwartz Theorem (without proof). Hessian of a function. Morse Lemma (without proof) and classification of critical points. Relationship between critical and extremal points. Taylor's second-order formula, concavity and convexity of a function of several variables. Qualitative study of functions. Taylor's formula for any order. Vector Value Functions. Continuity and differentiability for vector-value functions, Jacobian Matrix. Differential of Composite function. Chain rule, application to the derivative of a function along a curve and change of coordinates. Maximum and minimum for a function. Weierstrass theorem on non compact sets. 3) Differential Calculus on Curves and Surfaces: Outlines of Curves theory. Support of a curve, closed, simple, regular curves. Derivative of a function along a curve. Definition of parametric surface. Tangent plane and normal vector. Parameterization of graphs of two variables functions and rotation surfaces. Theorem: In a surface defined as the set of zeros of a function g, the gradient of g is orthogonal to the surface. Dini (or implicit function) theorem in two variables (with proof). Lagrange multiplier Theorem in two or three variables (with proof). Theorem of the implicit function in general (without proof) Theorem of Lagrange multipliers in general (without proof). 4) Integral Calculus: Definition of Riemann Integral and Peano Measure. First properties of Riemann integrals. Integration on simple sets. Properties of Riemann integrals: monotony and linearity, additivity and monotony over domain. Integral average Theorem (without proof). Theorem: Derivative of integral functions (no proof). Triple Integrals: Integration by Layers and Wires. Volume of rotation solids. Change of variables and local and global invertibility of functions. Local inversion theorem (without proof) Change of variable in double and triple integrals. 5) Integral Calculus on Curves and Surfaces: Length of a Curve. Invariance of length by change of parameterization. Definition of curvilinear integral. Invariance of the integral by change of parameterization Definition of area of a surface. Theorem: The surface integer does not depend on the parameterization. Area of a parameterized surface: graphs and rotation surfaces. Definition of surface integral. Theorem: The surface integral does not depend on parameterization (without proof). Relationship between surface integrals and double integral. 6)Vector Fields: Definiton of vector field and calculus of the work of a vector field along a path. Conservative fields and potential of a vector field. Work of a conservative field. Differential operator on vector fields: curl and divergence. Topology summaries: Connected, simply connected, star-shaped, contractible sets. Irrotational fields on simply connected sets. Criteria to check if an irrotational field is also conservative. Gauss Green Theorem for irrotational fields. 1-forms and vector fields. Gauss Green Theorem. Proof of the theorem in a simple case. Orientable surfaces and orientation of a surface and its boundary. Stokes theorem (without proof). Relationship between Stokes theorem and Gauss-Green theorem. Flow of a field across a surface. Divergence or Gauss Theorem. Proof (in a Simple Case) of the Gauss theorem. 7) Differential Equations: Definition and First Examples. Theorem of existence and local uniqueness (with proof) Linear equations: the space of solutions are a vector (or affine) vector space. Solution of non homogeneous linear equation . Linear equations of 2nd order with constant coefficients. Linear equations with constant coefficients and resonance. First order Linear Equations with Non-Constant Coefficients: Resolution Formula. Equation with Separate variables. Theorem of Global existenc of solutions (with proof).
Emilio Acerbi, Giuseppe Buttazzo: Analisi matematica ABC. 1-Funzioni di una variabile.
Bramanti Pagani Salsa, Analisi I
R. Adams, Calcolo Differenziale 2
Bramanti, Pagani Salsa, Analisi II
Emilio Acerbi, Giuseppe Buttazzo: Analisi matematica ABC. 1-Funzioni di una variabile.
Bramanti Pagani Salsa, Analisi I Zanichelli
Bramanti Pagani Salsa, Analisi II Zanichelli
Marcellini Sbordone, Analisi II, Liguori
Prodi, lezioni di Analisi II, Bollati Boringhieri
Consultare la pagina web del corso dove potete trovare il registro delle lezioni (che viene aggiornato regolarmente) il materiale didattico e i compiti degli appelli precedenti.
Look regularly at the web page.
Esame scritto ed eventualmente esame orale
Per accedere alla prova orale occorre aver superato la prova scritta. L'esame scritto consiste nella soluzione di esercizi su studio di funzione e problemi di massimo e minimo; calcolo di limiti e integrali; studio di serie numeriche; risoluzione di equazioni differenziali; problemi sui campi di vettori.
La prova orale richiede che lo studente dimostri anche di aver compreso e assimilato definizioni, enunciati e dimostrazioni presentati nel corso e che lo studente sappia fornire esempi di situazioni specifiche.
La prova scritta influisce sul voto finale per il 70% e la prova orale per il 30%.
Valutazione delle prove: l'esame scritto incide per il 70% e l'esame orale per il 30% sul voto finale.
L'esame scritto e' composto da vari quesiti, ognuno dei quali riporta a fianco il relativo punteggio.
Final written exam and final oral exam.
