ECTS - University of Pisa
Lo studente che completa con successo il corso avrà una conoscenza pratica dei principali strumenti dell'algebra lineare (sistemi lineari, matrici, autovalori, geometria analitica) e del calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili reali (problemi max/min, integrali in 2d e 3d, integrali su curve e superfici).
MODULO DI ALGEBRA LINEARE:
Aree di base: Sistemi lineari. Spazi euclidei reali e complessi
Aree caratterizzanti:
Teoria degli spazi vettoriali, dell'indipendenza e della dimensione
Teoria spettrale elementare
Aree affini: La geometria analitica e i vettori
MODULO DI ANALISI MATEMATICA II:
Aree di base: Continuita`, limiti, derivate e integrali per funzioni fra spazi euclidei
Aree caratterizzanti:
Differenziabilita`
Estremi locali liberi e vincolati
Integrabilita` e potenziali di campi e forme
Curve regolari, rettificabilita`, lunghezza e integrali curvilinei
Superficie regolari, vettore normale, area e integrali superficiali
Aree affini: Problemi geometrici e fisici alla base della teoria
The student who successfully completes the course will have a practical knowledge of the main tools of linear algebra (linear systems, matrices, eigenvalues, analytic geometry) and of the differential and integral calculus for functions of several real variables (max / min problems, integrals in 2d and 3d, integrals on curves and surfaces).
LINEAR ALGEBRA MODULE:
Basic areas: Linear systems. Real and complex Euclidean spaces
Characteristic areas:
Theory of vector spaces, independence and dimension
Elementary spectral theory
Affine areas: Analytical geometry and vectors
MATHEMATICAL ANALYSIS II MODULE:
Basic areas: Continuity, limits, derivatives and integrals for functions between Euclidean spaces
Characteristic areas:
Differentiability
Free and bound local extremes
Integrability and potentials of fields and forms
Regular curves, rectifiability, length and curvilinear integrals
Regular surfaces, normal vector, area and surface integrals
Related areas: Geometric and physical problems underlying the theory
Modalità di verifica delle conoscenze
Nella prova scritta, lo studente deve dimostrare di saper affrontare e risolvere problemi standard che richiedono gli strumenti presentati nel corso. Le soluzioni sono presentate in forma scritta. Verrà valutata la correttezza e la chiarezza delle soluzioni. Durante la prova orale verrà valutata la capacità dello studente di esporre correttamente i principali argomenti trattati durante il corso alla commissione.
Methods for verifying knowledge
In the written test, the student must demonstrate that they can solve standard problems that require the tools presented in the course. The solutions are presented in written form. The correctness and clarity of the solutions will be evaluated. During the oral exam, the student's ability to correctly present the main topics covered during the course to the commission will be assessed.
MODULO DI ALGEBRA LINEARE:
risolvere sistemi lineari generali, con applicazioni ai problemi dell'algebra lineare negli spazi euclidei
eseguire operazioni con vettori euclidei e matrici, sia attraverso le componenti scalari, sia in forma compatta; familiarita` con le notazioni vettoriali e matriciali;
utilizzare lo spazio vettoriale euclideo come modello di sistemi complessi e, in particolare, come ambiente alternativo alla geometria analitica classica per la risoluzione di problemi geometrici e meccanici;
MODULO DI ANALISI MATEMATICA II:
uso delle funzioni fra spazi euclidei come modelli di curve e superficie; sistemi di coordinate differenti;
calcolo di derivate (velocita`, gradiente, jacobiana) e differenziali per tutte le funzioni fra spazi euclidei di ogni dimensione;
determinazione di massimi e minimi liberi e vincolati;
applicazione dei teoremi della funzione implicita alla risolubilita` locale di un insieme di equazionil
Stabilire l'integrabilita` di un campo vettoriale (o di una forma differenziale) e calcolarne tutte le primitive;
calcolo di lunghezza ed integrali curvilinei di funzioni su curve parametriche;
calcolo di integrali multipli;
calcolo del piano tangente e del vettore normale ad una superficie parametrica regolare; calcolo di area e integrali superficiali di una funzione su una superficie.
LINEAR ALGEBRA MODULE:
Solve general linear systems, with applications to linear algebra problems in Euclidean spaces
Perform operations with Euclidean vectors and matrices, both through scalar components and in compact form; familiarity with vector and matrix notations;
Use Euclidean vector space as a model of complex systems and, in particular, as an alternative environment to classical analytic geometry for solving geometric and mechanical problems;
MATHEMATICAL ANALYSIS II MODULE:
Use of functions between Euclidean spaces as models of curves and surfaces; different coordinate systems;
Computation of derivatives (velocity, gradient, Jacobian) and differentials for all functions between Euclidean spaces of any dimension;
Determination of free and restricted maximums and minimums;
Application of the implicit function theorems to the local solvability of a set of equations
Establish the integrability of a vector field (or of a differential form) and calculate all the primitives;
Calculation of length and curvilinear integrals of functions on parametric curves;
Calculation of multiple integrals;
Calculation of the tangent plane and of the normal vector to a regular parametric surface; calculation of area and surface integrals of a function on a surface.
Le due prove scritte, relative ai due moduli, hanno come obiettivo la verifica del livello raggiunto nelle capacita` richieste per superare l'esame.
The two written tests, relating to the two modules, have as their objective the verification of the level reached in the skills required to pass the exam.
COMUNI AI DUE MODULI:
Acquisire familiarita' con i concetti e le notazioni dell'algebra e dell'analisi, tanto come modelli quanto come strumenti di calcolo
COMMON TO THE TWO MODULES:
To become familiar with the concepts and notations of algebra and analysis, both as models and as computational tools
Le prove d'esame (scritte ed orali) di entrambi i moduli forniscono una valutazione diretta del grado di familiarita` acquisito.
The exams (written and oral) of both modules provide a direct assessment of the degree of familiarity acquired.
Per il modulo di Algebra: trigonometria elementare; geometria analitica elementare (equazione della retta e delle coniche in forma canonica); generalita` sull'uso dei vettori geometrici;
Per il modulo di Analisi Matematica II: Analisi Matematica I (limiti, continuita`, derivate, integrali per funzioni di una variabile) e Algebra Lineare (spazio euclideo R^n, prodotto scalare e norma, matrici, applicazioni lineari fra spazi euclidei, teoria spettrale elementare, forme quadratiche).
For the Algebra module: elementary trigonometry; elementary analytical geometry (equation of the straight line and of the conics in canonical form); general information on the use of geometric vectors;
For the module of Mathematical Analysis II: Mathematical Analysis I (limits, continuity, derivatives, integrals for functions of one variable) and Linear Algebra (Euclidean space R ^ n, scalar product and norm, matrices, linear applications between Euclidean spaces, theory spectral elementary, quadratic forms).
Modulo di Algebra Lineare:
I sistemi lineari: teoria e risoluzione: algoritmi di Gauss, di Gauss-Jordan.
Gli spazi euclidei reali e complessi: operazioni su vettori, norma e prodotto scalare (o hermitiano), sottospazi; proiezione.
L'algebra delle matrici: tipo, operazioni, matrici speciali. Struttura generale delle applicazioni lineari fra spazi euclidei.
Indipendenza, basi, dimensione. Teorema di Grassmann sui sottospazi.
Applicazioni lineari: proprieta` generali. Nucleo, immagine e loro dimensioni.
Determinanti e loro proprieta`.
Teoria spettrale: diagonalizzabilita`, autovalori, autovettori e autospazi. Criteri di diagonalizzabilita`.
Teoria spettrale per matrici autoaggiunte.
Classificazione delle forme quadratiche e studio del loro segno.
MODULO DI ANALISI MATEMATICA II:
successioni e funzioni in spazi euclidei: convergenza, continuita`, e limiti; principali risultati; il teorema di esistenza degli zeri e la connessione (per archi);
calcolo differenziale in piu` variabili: derivate direzionali, condizione per gli estremi interni, differenziabilita`, rappresentazione del differenziale e matrice jacobiana, vettori, rette e piani tangenti a curve, superficie e a grafici di funzioni.
Teorema della funzione implicita per funzioni e sistemi: teorema di inversione locale.
Campi di vettori e forme differenziali: condizioni di integrabilita` e calcolo delle primitive.
Rettificabilita`, lunghezza e integrale curvilineo di una funzione su una curva parametrica.
Integrali multipli: formule di riduzione (teoremi di Fubini e Tonelli), cambio di variabili ed integrazione per parti (formula di Gauss-Green-Ostrogradskij).
Superficie parametriche regolari, area e integrali superficiali.
Linear Algebra Module:
Linear systems: theory and resolution: Gauss, Gauss-Jordan algorithms.
Real and complex Euclidean spaces: operations on vectors, norm and scalar (or Hermitian) product, subspaces; projection.
Matrix algebra: type, operations, special matrices. General structure of linear maps between Euclidean spaces.
Independence, bases, size. Grassmann's theorem on subspaces.
Linear maps: general properties. Core, image and their dimensions.
Determinants and their properties.
Spectral theory: diagonalizability, eigenvalues, eigenvectors and eigenspaces. Diagonalizability criteria.
Spectral theory for self-adjoint matrices.
Classification of quadratic forms and study of their sign.
MATHEMATICAL ANALYSIS II MODULE:
sequences and functions in Euclidean spaces: convergence, continuity, and limits; Main results; the theorem of existence of zeros and the connection (by arcs);
differential calculus in several variables: directional derivatives, conditions for internal extremes, differentiability, representation of the differential and Jacobian matrix, vectors, lines and planes tangent to curves, surfaces and function graphs.
Implicit function theorem for functions and systems: local inversion theorem.
Vector fields and differential forms: integrability conditions and computation of primitives.
Rectifiability, length and curvilinear integral of a function on a parametric curve.
Multiple integrals: reduction formulas (Fubini and Tonelli theorems), change of variables and integration by parts (Gauss-Green-Ostrogradskij formula).
Regular parametric surfaces, area and surface integrals.
Per l'algebra lineare, l'istruttore prevede di fornire una serie di note scritte per il corso. Altri riferimenti sono:
Alcune importanti differenze tra questi libri e i miei appunti:
For linear algebra, the instructor plans to provide a series of written notes for the course. Other references are:
Some important differences between these books and my notes:
Il formato degli esami sarà simile a quello dell'anno precedente, con dettagli da annunciare.
I moduli di algebra lineare e analisi avranno esami separati (sia orali che scritti) che trattano solo l'argomento di quel modulo. Se uno studente supera gli esami sia di algebra lineare che di analisi II, il voto del corso sarà determinato da un processo di media.
Il formato degli esami di analisi II non è ancora definito.
Gli studenti aventi diritto a tempi supplementari o altre agevolazioni per gli esami devono registrarsi preventivamente presso la segreteria competente
The exam format will be similar to the previous year, with details to be announced.
The linear algebra and analysis modules will have separate exams (both oral and written) that cover only the topic of that module. If a student passes both Linear Algebra and Analysis II exams, the course grade will be determined by an averaging process.
The format of the Analysis II exams is not yet defined.
Students entitled to extra time or other facilities for examinations must register in advance with the competent secretariat
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Codice del Corso: jccv2ua
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