ECTS - University of Pisa
Lo studente che completa il corso con successo sarà capace di padroneggiare spazi proiettivi e coordinate omogenee, avrà una buona conoscenza della topologia generale. Sarà capace di calcolare il gruppo fondamentale di spazi topologici non troppo complicati, e conoscerà le relazioni tra gruppo fondamentale e teoria dei rivestimenti. Infine otterrà una conoscenza di base della teoria delle funzioni olomorfe in una variabile complessa.
The student who successfully completes the course will have the ability to manage projective spaces and homogeneous coordinates and will get a basic knowledge on general topology. Also he/she will be able to calculate the fundamental group of (not too complicated) topological spaces, and will know the relatioship between the fundamental group and covering theory. The student will finally get a basic knowledge of holomorphic functions of one complex variable.
Si chiede capacità di risolvere alcuni problemi riguardanti la teoria svolta, e di discutere i principali contenuti del corso usando una terminologia appropriata.
The student will be assessed on his/her demonstrated ability to discuss the main course contents using the appropriate terminology.
Le regole d'esame specifiche sono disponibili sulla pagina e-learning del corso.
You may find detailed instructions for the exam on the e-learning page of the course.
Lo studente dovrà essere in grado di discutere di matematica sia con i propri compagni sia con il docente in maniera rigorosa ed espressiva.
The student must be able to discuss mathematical topics both with his/her mates and with the teacher using a rigorous mathematical language.
La capacità di discutere di matematica in maniera rigorosa ed espressiva sarà verificata durante l'esame orale.
During the oral examination, the committee evaluates the ability of the student in discussing mathematical topics with his/her teacher.
Spazi vettoriali, applicazioni lineari, applicazioni diagonalizzabili e triangolabili, prodotti scalari. Coniche a quadriche affini. Insiemi e relazioni di equivalenza. Teoria della derivazione e dell'integrazione in una variabile reale.
Vector spaces, linear maps, eigenvectors, scalar products. Affine conics and quadrics. Sets and equivalence relations. Derivatives and integrals for real functions in one real variable.
Lezioni ed esercitazioni frontali.
Attività utili per imparare: frequenza alle lezioni, studio individuale, lavoro di gruppo.
Delivery: face to face
Learning activities:
Attendance: Advised
Teaching methods:
Geometria proettiva. Spazi proiettivi. Sottospazi, trasformazioni proiettive, proiettività. Carte affini. Il birapporto.
Topologia generale. Spazi topologici e applicazioni continue. Sottospazi, prodotti, quozienti. Assiomi di separazione. Assiomi di numerabilità. Compattezza, connessione, connessione per archi. Spazi di Baire.
Un primo approccio alla topologia algebrica: omotopia, spazi contrattili, deformazioni. Il gruppo fondamentale. Teorema di Seifert-Van Kampen. Teoria dei rivestimenti. Il rivestimento universale. Rivestimenti regolari. Monodromia. Azione del gruppo fondamentale sul rivestimento universale.
Funzioni olomorfe di una variabile complessa: definizioni, esempi. 1-Forme differenziali a valori complessi. Teorema di Cauchy. Teorema dei residui. Lemma di Schwarz. Principio del massimo.
Projective geometry. Projective spaces. Subspaces, projective transformations, projectivities. Affine charts. Cross-ratio.
General topology. Topological spaces and continuous maps. Subspaces, products, quotient spaces. Separation axioms. Countability axioms. Compactness, connectedness, path-connectedness. Baire spaces.
Algebraic topology. Homotopy, contractible spaces, retracts. The fundamental group. Seifert-Van Kampen Theorem. Covering theory. The universal covering. Regular coverings. Monodromy. The action of the fundamental group on the universal covering.
Holomorphic functions of one complex variable: definition and examples. Differential 1-forms with complex values. Cauchy Theorem. The residue Theorem. Schwarz Lemma. The maximum principle.
TOPOLOGIA GENERALE, GRUPPO FONDAMENTALE E RIVESTIMENTI:
M. Manetti, "Topologia".
Esercizi di topologia generale si possono trovare anche in testi dedicati all'argomento, come:
Checcucci, Vesentini, Tognoli, "Lezioni di Topologia Generale", o
Dugundji, "Topology", disponibile online qui: https://www.southalabama.edu/mathstat/personal_pages/carter/Dugundji.pdf
Esercizi su varie parti del corso si trovano anche nel libro
De Fabritiis, Petronio: "Esercizi svolti e complementi di topologia e geometria".
VARIABILE COMPLESSA:
H. Cartan, "Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables".
GEOMETRIA PROIETTIVA:
E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, "Geometria Proiettiva - Richiami di teoria ed esercizi svolti".
GENERAL TOPOLOGY, FUNDAMENTAL GROUP AND COVERINGS:
M. Manetti, "Topology".
Exercises on general topology may be found also in books that are completely devoted to the topic, i.e. in
Checcucci, Vesentini, Tognoli, "Lezioni di Topologia Generale", or
Dugundji, "Topology", which is available online here: https://www.southalabama.edu/mathstat/personal_pages/carter/Dugundji.pdf
Exercises on many topics covered by the course may be found here:
De Fabritiis, Petronio: "Esercizi svolti e complementi di topologia e geometria".
HOLOMORPHIC FUNCTIONS:
H. Cartan, "Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables".
PROJECTIVE GEOMETRY:
E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, "Projective Geometry - Solved problems and Theory review".
Prova scritta
Prova orale
Prove in itinere
Written examination.
Oral examination.
Partial written examinations.
