ECTS - University of Pisa
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MATHEMATICAL ANALYSIS 2
ALDO PRATELLI
Academic year2023/24
CourseMATHEMATICS
Code546AA
Credits12
PeriodSemester 1 & 2
LanguageItalian

ModulesAreaTypeHoursTeacher(s)
ANALISI MATEMATICA 2/AMAT/05LEZIONI120
CARLO CARMINATI unimap
ALDO PRATELLI unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Al termine del corso lo studente che ha seguito proficuamente avrà acquisito conoscenze relative

  • al calcolo differenziale per funzioni di più variabili,
  • al calcolo integrale per funzioni di più variabili,
  • al calcolo vettoriale su curve e superfici,
  • alle successioni e serie di funzioni,
  • alle equazioni e ai sistemi di equazioni differenziali ordinarie.
Knowledge

The student who completes the course successfully will have solid background in

  • differential calculus for multi-variable real functions,
  • integral calculus for multi-variable real functions,
  • vectorial calculus on curves and surfaces,
  • sequences and series of functions,
  • equations and systems of ordinary differntial equations.
Modalità di verifica delle conoscenze
  • Due prove in itinere durante l'anno: svolgimento di esercizi.
  • Prova scritta al termine del corso: svolgimento di esercizi in cui è richiesto di argomentare adeguatamente tutti i passaggi. La valutazione dipende dalla chiarezza e correttezza delle spiegazioni fornite.
  • Prova orale: tipicamente consiste nell'esposizione di definizioni, enunciati, dimostrazioni, esempi e controesempi.
Assessment criteria of knowledge

 

  • Intermediate written exams: the student must solve exercises on specific parts of the program.
  • Final written examination: the student must demonstrate his/her knowledge of the course material and possibility to find innovative ideas for solution of the posed problems.
  • Final oral examination: during the oral exam the student must be able to demonstrate his/her knowledge of the course material and be able to have creative answers.
Capacità

Al termine del corso lo studente che ha seguito proficuamente saprà

  • determinare l'andamento qualitativo del grafico di una funzione di più variabili,
  • determinare massimi/minimi locali/globali/vincolati per funzioni di più variabili,
  • calcolare integrali di funzioni di più variabili,
  • studiare la convergenza di integrali impropri per funzioni di più variabili,
  • determinare proprietà qualitative di curve e superfici (e più in generale di varietà immerse nello spazio n-dimensionale),
  • calcolare integrali curvilinei e superficiali,
  • studiare la convergenza di successioni e serie di funzioni,
  • studiare il comportamento qualitativo delle soluzioni di equazioni e sistemi di equazioni differenziali ordinarie.
Skills

The student who completes the course successfully will be able

  • to determine the qualitative behavior of the graph of multi-variable real functions,
  • to find local/global/constrained minimum/maximum for multi-variable functions,
  • to compute integrals of multi-variable-functions,
  • to discuss the convergence of generalized integrals for functions of several real variables,
  • to find qualitative properties of curves and surfaces (and more generally of varieties embbedded in the n-dimensional space),
  • to compute integrals on curves and surfaces,
  • to study the convergence of sequences and series of functions,
  • to study the qualitative behavior of solutions to ordinary differential equations.
Modalità di verifica delle capacità
  • Prove in itinere durante l'anno
  • Prova scritta al termine del corso
  • Prova orale
Assessment criteria of skills
  • Intermediate written exams
  • Final written exam
  • Final oral exam
Prerequisiti (conoscenze iniziali)

 Analisi Matematica 1, Algebra Lineare
Prerequisites

 Basic Calculus, Linear Algebra
Indicazioni metodologiche
  • Lezioni frontali ed esercitazioni. 
  • Prove in itinere.
  • Ricevimento studenti.
Teaching methods

 

  • Lectures and excercise classes (in Italian).
  • Office hours.
  • Intermediate exams.
Programma (contenuti dell'insegnamento)

  • Spazi metrici, spazi vettoriali. Completezza. Spazi di Banach.

  • Teorema delle contrazioni.

  • Compattezza. Insiemi compatti in R^n.

  • Limiti di funzioni di più variabili. Funzioni continue in R^n.

  • Completezza dello spazio delle funzioni continue.

  • Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Derivate parziali. Derivata di funzione composta.

  • Derivate successive. Matrice Hessiana. Massimi e minimi locali. Formula di Taylor.

  • Misura di Lebesgue. Definizione ed esempi.

  • Integrale di Lebesgue. Funzioni misurabili. Teorema di Fubini-Tonelli. Teoremi di Beppo Levi e di Lebesgue.

  • Teorema del cambio di variabile. Coordinate polari e cilindriche.

  • Integrali dipendenti da parametro. Derivazione sotto il segno di integrale.

  • Curve. Lunghezza di una curva. Integrali curvilinei.

  • Forme differenziali. Integrale di una forma differenziale lungo un curva. Forme differenziali esatte.

  • Insiemi connessi, convessi, stellati, semplicemente connessi. Forme differenziali chiuse. Relazioni tra forme differenziali chiuse ed esatte.

  • Teorema di Gauss-Green.
  • Superfici. Area di una superficie. Integrali superficiali. 

  • Teorema della divergenza. Teorema di Stokes.

  • Teorema delle funzioni implicite. Teorema della funzione inversa.

  • Massimi e minimi vincolati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. 

  • Serie e successioni di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme. Derivazione e integrazione di serie di funzioni.

  • Introduzione alle serie di Fourier.

  • Sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Teorema di esistenza e unicità. Teorema di sola esistenza.

  • Dipendenza continua dai dati iniziali.

  • Sistemi di equazioni lineari. Equazioni a coefficienti costanti. 

  • Linearizzazione. Studio qualitativo delle soluzioni.
Syllabus

  • Metric spaces, vector spaces. Completeness. Banach spaces.

  • Banach fixed point Theorem.

  • Compacness. Characterization of compact sets in R^n.

  • Limits of functions and continuous functions in R^n.

  • Completeness of the space of continuous functions in R^n. 

  • Differential calculus for functions of many variables. Partial derivatives. Chain rule.

  • Higher order derivatives. Hessian matrix. Local minima and maxima. Taylor Formula.

  • Lebesgue measure. Definition and examples. 

  • Lebesgue integral. Measurable functions. Fubini-Tonelli Theorem. Beppo Levi and Lebesgue Theorems.

  • Change of variable in integrals. Spherical and cylindrical coordinates.

  • Continuity and differentiation of integrals with a parameter. 

  • Curves. Length of a curve. Integrals on curves.

  • Differential forms. Integral of a differential form along a curve. Exact differential forms. 

  • Connected, convex and star-shaped sets. Simply connected sets. Relation between closed forms and exact forms.

  • Gauss-Green Theorem.
  • Surfaces. Area of a surface. Integrals on surfaces. 

  • Divergence Theorem. Stokes Theorem.

  • Implicit Function Theorem. Inverse Function Theorem.

  • Minima and maxima with constraint. Method of Lagrange Multipliers.

  • Sequences and series of functions. Pointwise and uniform convergence. Derivation and integration of series of functions.

  • Introduction to Fourier series.

  • Systems of ordinary differential equations. Cauchy Theorem. Existence results.

  • Continuous dependence on initial data.

  • Systems of linear equations. Equations with constant coefficients.

  • Linearization. Qualitative analysis of solutions.
Bibliografia e materiale didattico
  • N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone; Lezioni di analisi matematica due; Zanichelli.

  • E. Giusti; Analisi Matematica 2; Bollati Boringhieri.
  • E. Acerbi, L. Modica, S. Spagnolo; Problemi scelti di Analisi Matematica II; Liguori Editore.
  • G. Folland; Real Analysis; Wiley.
Bibliography
  • N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone; Lezioni di analisi matematica due; Zanichelli.

  • E. Giusti; Analisi Matematica 2; Bollati Boringhieri.
  • E. Acerbi, L. Modica, S. Spagnolo; Problemi scelti di Analisi Matematica II; Liguori Editore.
  • G. Folland; Real Analysis; Wiley.
Altri riferimenti web

 
Updated: 17/09/2023 22:27