ECTS - University of Pisa
Al termine del corso lo studente avrà acquisito una conoscenza dei principali teoremi e strumenti dell'analisi matematica e dell'algebra lineare e la capacità di applicarli rigorosamente nella risoluzione di esercizi. Inoltre saprà illustrare correttamente i contenuti sopra menzionati attraverso il linguaggio rigoroso proprio della matematica.
Upon completing the course the students will have acquired the knowledge of the main theorems and tools of mathematical analysis and linear algebra. The will also be able to rigorously apply these theorems and tools to solve problems. In addition they will know how to expose the contents already mentioned with a rigorous mathematical language.
Esame finale scritto suddiviso in due parti ed esame orale.
Final written exam, split into two parts, and oral exam.
Lo studente alla fine del corso avrà maturato le conoscenze degli strumenti di base dall'analisi matematica e dell'algebra lineare in modo da poter apprendere metodologie successive anche legate al contenuto di altri corsi. Lo studente dovrà inoltre sviluppare un approccio analitico alla formulazione matematica e successiva risoluzione di varie problematiche incontrate nei corsi paralleli o successivi e nel resto della sua carriera scientifica.
Upon completing the course the students will have acquired a knowledge of the basic tools of mathematical analysis and linear algebra, as a basis for learning further method also related to the contents of other courses. They will also develop an analytic approach to the mathematical formulation and subsequent solution of various problems coming from parallel or later courses and from the rest of their scientific career.
Correzione degli esercizi assegnati nei compiti scritti e controllo della esatta enunciazione dei risultati.
Correction of the exercises assigned in the written exams and check of the exact statement of the results.
Sviluppare di una adeguata capacità di astrazione.
Development of an adequate abstraction capacity.
Contestuale a quella delle capacità.
Performed jointy with the assessment of skills.
Numeri, polinomi, equazioni e disequazioni, funzioni esponenziali e trigonometriche.
Numbers, polynomials, equations and inequations, exponential and trigonometric functions.
Lezioni ed esercitazioni frontali, assegnazione di esercizi per casa e discussione collettiva della loro soluzione. Tutte le attività saranno disponibili in streaming e registrate con libera consultazione.
Front lectures and exercise sessions. Assignment of exercises and collective discussion of their solution. All the activities will be delivered by streaming and recorded with a free access.
Cenni di teoria degli insiemi: unione, intersezione, differenza, prodotto cartesiano. Notazione dei quantificatori e loro uso nella descrizione di insiemi e nella formulazione di proposizioni.
Cenni sui numeri naturali, interi relativi, razionali, reali. Cenni di calcolo combinatorio: fattoriale, binomio di Newton, combinazioni, disposizioni, permutazioni. Gli insiemi reali rappresentati sulla retta ordinata infinita; ordinamento dei numeri reali e proprietà associate.
Insiemi limitati dei reali; maggiorante, minorante, massimo, minimo, estremo superiore e inferiore di un insieme di reali. Proprietà caratterizzanti.
Numeri complessi: rappresentazione cartesiana e trigonometrica, modulo, argomento, coniugio, radici di un numero complesso. Polinomi a coefficienti complessi, divisione tra polinomi, radice di un polinomio e sua molteplicità. Teorema fondamentale dell’algebra.
Funzioni tra insiemi: dominio, codominio, immagine, contro-immagine, iniettività, surgettività, funzione inversa, funzione composta, grafico di una funzione. Caso di funzioni reali a valori reali: monotonia, periodicità, parità/disparità.
Funzioni elementari e loro proprietà: potenza, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche e loro inverse, loro rappresentazione grafica. Operazioni naturali su grafici di funzioni reali.
Punti di accumulazione per un sottoinsieme dei reali. Limite finito o infinito al finito o all'infinito. Proprietà dei limiti: regole per somma, prodotto e composizione, forme indeterminate, teoremi di confronto. Limiti notevoli trigonometrici ed esponenziali. Esistenza di limiti destri e sinistri per funzioni monotone.
Continuità e collegamento con i limiti. Stabilità per somma, prodotto, composizione. Proprietà globali delle funzioni continue: teorema di Weierstrass, teorema di esistenza degli zeri. Teoremi sull’immagine di funzioni continue. Teorema dei valori intermedi.
Definizione di derivata e sua interpretazione geometrica. Regole di calcolo delle derivate, derivate delle funzioni elementari. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange. Applicazioni delle derivate allo studio della monotonia, dei massimi o minimi e della convessità o concavità delle funzioni.
Studio del grafico di una funzione, asintoti orizzontali, verticali ed obliqui. Teorema di De L’Hopital, formula di Taylor. Applicazioni al calcolo di limiti.
Integrale secondo Riemann. Classi di funzioni integrabili. Integrale come area del sottografico. Proprietà dell’integrale, teorema della media integrale. Integrale indefinito e nozione di primitiva. Funzione integrale e teorema fondamentale del calcolo integrale. Suo utilizzo nel calcolo di integrali. Integrazione delle funzioni razionali, integrazione per parti e per sostituzione. Integrali generalizzati. Cenni sul calcolo di volumi.
Equazioni differenziali del primo ordine: problema di Cauchy, teoremi di esistenza, spazio delle soluzioni per equazioni lineari. Equazioni a variabili separabili e di Bernoulli.
Coordinate cartesiane nello spazio n-dimensionale reale. Nozione di prodotto scalare tra vettori, ortogonalità, distanza. Rette nel piano e nello spazio, piani nello spazio, parallelismo e perpendicolarità tra rette e piani.
Nozione di spazio vettoriale, vettori linearmente indipendenti, sistemi di generatori, basi, dimensione. Nozione di sottospazio vettoriale ed esempi. Lo spazio vettoriale delle matrici, prodotto righe per colonne. Sistemi lineari, rango, teorema di Rouché-Capelli. Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà, inversa di una matrice quadrata.
Autovalori ed autovettori per matrici quadrate, polinomio caratteristico, cenni alla diagonalizzazione.
Sketches of set theory: union, intersection, difference, Cartesian product. Quantifiers and their use to describe sets and state propositions.
Sketches on natural, integer, rational and real numbers. Sketches of combinatorial calculus: factorial, Newton’s binomial, combinations, dispositions, permutations. Subsets of the reals represented on the infinite ordered line. Ordering of the reals and associated properties.
Limited subsets of the reals; upper and lower bound, maximum, minimum, superior and inferior extremum. Characterising properties.
Complex numbers: cartesian and trigonometric representation, modulus, argument, conjugate, roots. Polynomials with complex coefficients, division between polynomials, roots and their multiplicity. Fundamental theorem of algebra.
Functions between sets: domain, codomain, image, preimage, injectivity, surjectivity, inverse function, composition, graph. The case of real functions on the real line: monotonicity, periodicity, parity/disparity.
Elementary functions and their properties: power, exponential, logarithm, trigonometric functions and their inverses, graphic representation. Natural operations on graphs of real functions.
Accumulation points of a subset of the reals. Finite or infinite limit at a finite or infinite point. Properties of limits: rules for sum, product and composition. Indeterminate forms, confrontation theorems. Remarkable trigonometric and exponential limits. Existence of right and left limits for monotonic functions.
Continuity and connection with limits. Stability under sum, product, composition. Global properties of continuous functions: Weierstrass theorem, existence of zeros. Theorems on the image of a continuous function. Theorem of intermediate values.
Definition of derivative and geometric interpretation. Computation rules for derivatives, and derivatives of elementary functions. Theorems of Fermat, Rolle, Lagrange. Application of derivatives to the study of monotonicity, maxima and minima, convexity and concavity of functions.
Study of the graph of a function, horizontal, vertical and oblique asymptotes. De L’Hopital’s theorem, Taylor formula. Application to the computation of limits.
Riemman integral. Classes of integrable functions. Integral as the area of the subgraph. Properties of the integral, mean integral theorem. Indefinite integral and primitive of a function. Integral function and fundamental theorem of the integral calculus. Calculation of integrals. Integration of rational functions, integration by parts and substitution. Generalized integrals. Sketeches of volume computation.
First-order differential equations: Cauchy problem, existence theorems, space of solutions for linear equations. Equations with separate variables and of Bernoulli type.
Cartesian coordinates in the real n-dimensional space. Scalar product between vectors, orthogonality, distance. Lines in the plane and in the space, planes in the space, parallelism and perpendicularity between lines and planes.
Vector spaces, linearly independent vectors, generators, bases, dimension. Subspaces and examples. The vector space of matrices, matrix product. Linear system, rank, Rouché-Capelli theorem. Determinant of a square matrix and its properties, inverse of a square matrix.
Eigenvalues and eigenvectors, characteristic polynomial, sketches of diagonalization.
I libri di testo verranno eventualmente completati da dispense fornite durante il corso e reperibili online.
During the course the textbooks will possibly be complemented by handouts available online.
Nessuna.
None.
Scritto e orale.
Written and oral.
Materiali didattici disponibili sulla pagina Teams del corso.
Teaching materials available on the Teams page of the course.
