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RIEMANNIAN GEOMETRY
DIEGO CONTI
Academic year2023/24
CourseMATHEMATICS
Code130AA
Credits6
PeriodSemester 1
LanguageItalian

ModulesAreaTypeHoursTeacher(s)
GEOMETRIA RIEMANNIANAMAT/03LEZIONI42
DIEGO CONTI unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Lo studente che completa il percorso con successo acquisirà solide conoscenze su alcuni risultati fondamentali della geometria riemanniana nei suoi seguenti aspetti: campi di Jacobi; gruppo delle isometrie; spazi simmetrici riemanniani.

Knowledge

Tthe student who successfully completes the course will acquire a solid knowledge on some fundamental results in Riemannian geometry, in its following aspects: Jacobi fields; isometry group; Riemannian symmetric spaces.

Modalità di verifica delle conoscenze

Esame orale.

Assessment criteria of knowledge

Oral exam.

Capacità

Saper comprendere, riprodurre e spiegare gli enunciati e le dimostrazioni di alcuni risultati fondamentali su campi di Jacobi, gruppo di isometrie e spazi simmetrici riemanniani.

Skills

Being able to understand, reproduce and explain statements and proofs of some fundamental results on Jacobi fields, isometry group and riemannian symmetric spaces.

Modalità di verifica delle capacità

Esame orale.

Assessment criteria of skills

Oral exam.

Comportamenti

Non rilevante per il tipo di corso.

Behaviors

Not relevant for the course.

Modalità di verifica dei comportamenti

Nessuna.

Assessment criteria of behaviors

None.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Geometria riemanniana e differenziale di base: varietà differenziabili, metriche riemanniane, curvatura, geodetiche, gruppi di Lie. Questi argomenti vengono trattati nel corso di Istituzioni di Geometria, che si consiglia di seguire prima.

Prerequisites

Basic Riemannian and differential geometry: smooth manifolds, Riemannian metrics, curvature, geodesics, Lie groups. These topics are covered in the course "Istituzioni di Geometria"; following it in advance is recommended.

Indicazioni metodologiche

Lezioni frontali.

Teaching methods

Delivery: face to face.

Programma (contenuti dell'insegnamento)

Formula di Synge e campi di Jacobi.
Teorema di Cartan-Hadamard. Gruppo fondamentale di una varietà riemanniana di curvatura non positiva; teorema di Preissmann.
Metriche di curvatura positiva: teorema di Myers. Teorema di Synge. Teorema di Klingerberg sul raggio di iniettività di una metrica a curvatura sezionale positiva limitata. Teorema della sfera di Berger.

Gruppo di isometrie di una varietà riemanniana; gruppo delle trasformazioni affini. Gruppo di isometrie di una varietà compatta. Campi di Killing.
Dimensione del gruppo delle isometrie. Classificazione delle varietà riemanniane con gruppo di isometrie di dimensione 1/2n(n+1).

Spazi localmente simmetrici. Trasvezioni.
Algebre di Lie ortogonali involutive e loro struttura; duale.
Spazi simmetrici globali e loro struttura. Esempi.
Gruppo fondamentale, gruppo di isometrie e curvatura di uno spazio simmetrico.

Syllabus

Synge's formula and Jacobi fields.

Cartan-Hadamard theorem. Fundamental grouip of a Riemannian manifold of nonpositive curvature; Preissmann theorem.

Metrics of positive curvature: Myers' theorem. Synge's theoremn. Klingerberg's theorem on the injectivity radius of a metric with bounded positive sectional curvature. Berger's sphere theorem.

Isometry group of a Riemannian manifold; group of affine transformations. Isometry group of a copmact manifold. Killing fields.

Dimension of the group of isometries. Classification of Riemannian manifolds with isometry group of dimension 1/2n(n+1).

Locally symmetric spaces. Transvections.
Involutive orthogonal Lie algebras and their structure; dual.
Global symmetric spaces and their structure. Examples.
Fundamental group, isometry group and curvature of a symmetric space.

Bibliografia e materiale didattico

Petersen, Riemannian geometry. Springer.

Kobayashi, Transformation groups in differential geometry. Springer.

Wolf. Spaces of constant curvature. AMS Chelsea Publishing.

Bibliography

Petersen, Riemannian geometry. Springer.

Kobayashi, Transformation groups in differential geometry. Springer.

Wolf. Spaces of constant curvature. AMS Chelsea Publishing.

Indicazioni per non frequentanti

Fare riferimento al materiale pubblicato sulla pagina elearning del corso.

Non-attending students info

Referring to the elearning webpage of the course.

Modalità d'esame

Esame orale.

Assessment methods

Oral exam.

Updated: 01/08/2023 19:17