Il corso non richiede particolari prerequisiti, se non la conoscenza dei numeri reali, le operazioni insiemistiche elementari e la nozione di funzione. La comprensione di esempi, esercizi ed applicazioni richiede comunque i corsi di Analisi Matematica del primo e del secondo anno. Saranno importanti anche alcune nozioni basilari su spazi vettoriali, spazi di Banach e operatore lineari.

Il corso è costituito da lezioni frontali, che saranno tenute tramite la redazione e proiezione di appunti su supporto informatico e se necessario usando anche la lavagna. Se espressamente richiesto, le lezioni potranno tenersi anche in lingua inglese. La frequenza è fortemente raccomandata.

1. Misure e misure esterne. Spazi mensurali, misure esterne e proprietà basilari, teorema di Carathéodory per misure esterne, funzioni misurabili e loro approssimazione, misura di Lebesgue, insiemi non misurabili, algebre, anelli e semianelli di insiemi, estensione di Carathéodory-Hahn.
2. Teoria dell’integrazione astratta e spazi di Lebesgue. Integrale di Lebesgue su uno spazio mensurale, teoremi di Beppo Levi, Fatou e Lebesgue. Continuità e derivabilità di integrali rispetto ad un parametro. Proprietà basilari degli spazi di Lebesgue rispetto una misura µ e loro completezza. Convergenza nella norma delle funzioni p-sommabili, convergenza puntuale q.o., convergenza in misura e relative implicazioni. Disuguaglianza di Jensen.
3. Operazioni sulle misure. Misure con segno, teorema di Hahn e decomposizione di Jordan per misure con segno, variazione totale, assoluta continuità dell’integrale e teorema di Radon-Nikodym.
4. Misure e topologia. Misure boreliane, approssimazione di boreliani con aperti, chiusi e compatti, criterio di Carathéodory per misure boreliane, misure di Radon su spazi topologici, teorema di Lusin e densità delle funzioni continue nello spazio delle funzioni p-sommabili. Teorema di rappresentazione di Riesz per funzionali sullo spazio delle funzioni continue a supporto compatto.
5. Teoremi di Fubini e di Tonelli. Prodotto di misure, teoremi di Fubini e di Tonelli su spazi mensurali, con controesempi per ipotesi più deboli.
6. Funzioni assolutamente continue e a variazione limitata. Teoremi di ricoprimento di Vitali, differenziabilità quasi ovunque delle funzioni monotone, funzioni a variazione limitata e funzione di Cantor. Funzioni assolutamente continue e loro caratterizzazione tramite il teorema fondamentale del calcolo.
7. Misura di Hausdorff, frattali e formula di area. Misura di Haudorff e dimensione di Hausdorff, esempi di calcolo della dimensione di Hausdorff per frattali, mappe holderiane e misura di Hausdorff, uguaglianza tra misura di Hausdorff e misura di Lebesgue, formula dell’area e cambiamento di variabile nello spazio euclideo.
8. Argomenti opzionali, I. Misure vettoriali, integrale di Bochner e controesempi al teorema di Radon-Nikodym per misure a valori in uno spazio di Banach. Relazione tra misure e misure esterne.
9. Argomenti opzionali, II. Topologia della convergenza locale sui compatti, teorema di approssimazione di Stone e separabilità dello spazio delle funzioni continue a supporto compatto su uno spazio metrico separabile.
10. Argomenti opzionali, III. Integrale di Lebesgue su spazio mensurale tramite opportune somme superiori e inferiori. Differenze tra integrazione secondo Lebesgue e integrazione secondo Riemann. Caratterizzazione delle funzioni integrabili secondo Riemann.

N.B. Tutti i teoremi del programma sono da intendersi con relative dimostrazioni.

[1] L.Ambrosio, G.Da Prato, A.Mennucci, Introduction to Measure Theory and Integration, Edizioni della Normale, 2011.

[2] L.Ambrosio, N.Fusco, D.Pallara, Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems, Oxford University Press, New York, 2000.

[3] L.Ambrosio, P.Tilli, Topics on analysis in metric spaces, Oxford University Press, Oxford, 2004.

[4] Y.Benyamini, J.Lindenstrauss, Geometric Nonlinear Functional Analysis, American Mathematical Society, 2000.

[5] Y.D.Burago, V.A.Zalgaller, Geometric inequalities, Grundlehren Math. Springer, Berlin, 1988.

[6] S.B.Chae, Lebesgue integration, Collana “Universitext”, Springer 1995.

[7] D.L.Cohn, Measure Theory, Birkhäuser, 1980.

[8] L.C.Evans and R.F.Gariepy, Measure theory and fine properties of functions, revised edition. Textbooks in Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 2015.

[9] H.Federer, Geometric measure theory, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag New York Inc., New York, 1969.

[10] K.Falconer, Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications, Wiley, 2003.

[11] G.B.Folland, Real Analysis. Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons, 1999.

[12] I.P.Natanson, Theory of functions of a real variable, New York, 1964.

[13] H.L.Royden and P.M.Fitzpatrick, Real Analysis, Pearson Education, 2010.

L'esame prevede una prova orale su tutto il programma. La prova richiede la precisa conoscenza dei teoremi del corso assieme alle loro dimostrazioni. Potrà essere richiesta opzionalmente anche la risoluzione di qualche esercizio.