ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| ISTITUZIONI DI ALGEBRA | MAT/02 | LEZIONI | 72 |
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Apprendimento di alcuni risultati e concetti dell'algebra commutativa e dell'algebra omologica.
Fundamental results and concepts of commutative and homological algebra.
Svolgimento degli esercizi per casa durante l'anno ed esame orale o esame finale orale approfondito.
Homework and final oral exam, or amplified final oral exam.
Saper affrontare un problema di algebra commutativa o omologica e poter utilizzare questi risultati nello studio di problemi in topologia algebrica o geometria algebrica.
To get acquainted with some problems of commutative or homological algebra and to be able to use these results in the study of problems in algebraic topology or algebraic geometry.
Svolgimento degli esercizi per casa durante l'anno ed esame orale o esame finale orale approfondito.
Homework and final oral exam, or amplified final oral exam.
Il corso prevede di saper seguire delle lezioni, prendere e rielaborare gli appunti, svolgere gli esercizi.
The students should be able to follow lectures, take notes, solve the exercises.
Svolgimento degli esercizi per casa durante l'anno ed esame orale o esame finale orale approfondito.
Homework and final oral exam, or amplified final oral exam.
Sono considerati propedeutici i seguenti insegnamenti: aritmetica, algebra 1, algebra 2, geometria e algebra lineare, geometria 2, analisi 1.
In particolare si suppone che lo studente abbia qualche conoscenza (definizione e proprieta` di base) dei seguenti argomenti: moduli su anelli commutativi unitari, prodotto tensoriale, noetherianita` e condizione sulle catene ascendenti, ideali primi e ideali massimali, anelli locali, estensione di campi, gruppo di Galois, determinanti, polinomio caratteristico e teorema di Cayley-Hamilton, elementi di base di topologia generale, lemma dei 5 e lemma del serpente.
The student should already know the following subjects: modules over unitary commutative rings, tensor product, noetherian and artinian modules and rings, prime and maximal ideals, local rings, localization, primary decomposition, field extensions, Galois group, determinants, characteristic polynomial, Cayley-Hamilton theorem, some standard definitions of general topology, five and snake lemmas.
In Pisa these material is covered by the the following courses: Aritmetica, Algebra 1, Algebra 2, Geometria 1 & 2, Analisi 1. The student should have already passed these or some equivalent exams.
Lezioni frontali ed esercizi per la casa.
Nozioni di dimensione di un anello commutativo. Hauptidealsatz di Krull e applicazioni. Dimensione di un'algebra finitamente generata su un campo.
Successioni regolari, anelli locali regolari, caratterizzazioni equivalenti.
Completamento, lemma di Artin-Rees, anelli di Cohen. Struttura degli anelli locali regolari completi. Vettori di Witt.
Cenni di base di algebra omologica: complessi,successioni esatte lunghe, funtori derivati, Ext e Tor. Dimensione omologica, caratterizzazione omologica degli anelli regolari.
Categorie derivate e funtori derivati totali. Funtori derivati di funtori non additivi.
Notions of dimension for a commutative ring. Krull's Hauptidealsatz and applications. Dimension of a finitely generated algebra over a field.
Regular sequences, regular local rings, equivalent characterizations. Completion, Artin-Rees lemma, Cohen rings. Structure of regular complete local rings. Witt vectors.
Basic concepts of homological algebra: complexes, long exact sequences, derived categories, Ext and Tor. Homological dimension, homological characterization of regular local rings.
Derived categories and total derived functors. Derived functors of non-additive functors.
Weibel: Introduction to homological algebra
Atiyah-MacDonald: Introduzione all'algebra commutativa
Matsumura, Commutative ring theory
Rotman: Introduction to homological algebra
Weibel: Introduction to Homological Algebra
Atiyah & MacDonald, Introduction to Commutative Algebra
Matsumura, Commutative ring theory.
Rotman: Introduction to homological algebra
Oltre il materiale bibliografico indicato chi non frequenta puo` aiutarsi con i testi degli esercizi assegnati durante l'anno e con il registro delle lezioni.
The students can consult the exercises assigned during the course and the "registro delle lezioni".
Svolgimento degli esercizi per casa durante l'anno ed esame orale o esame finale orale approfondito.
Homework and final oral exam, or amplified final oral exam.
