ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| MATEMATICA | MAT/05 | LEZIONI | 64 |
|
Elementi di base della Matematica
Basic elements of mathematics.
La verifica delle conoscenze si effettua attraverso una prova scritta e una prova orale
During the written test and the subsequent oral exam, the student must be able to demonstrate his/her knowledge of the main course contents using the appropriate terminology.
Lo studente avrà gli elementi fondamentali per studiare anche qualitativamente le funzioni e per calcolare il valore degli integrali definiti.
The student will have the basic elements for studying the functions and for computing the values of some integrals.
Le capacità vengono verificate durante le esercitazioni.
Capacities are verified during the exercises.
Lo studente potrà acquisire capacità critiche nell'affrontare problemi di matematica di base.
The student will be able to acquire critical skills in dealing with basic mathematical problems.
I comportamenti saranno verificati in occasione della prova scritta e della prova orale dell'esame conclusivo.
The behaviors will be verified during the written test and the final oral exam.
Conoscenze di elementi di base della matematica come, per esempio, la risoluzione di equazioni e disequazioni e le nozioni principali della geometria analitica.
Knowledge of basic elements of mathematics such as, for example, the resolution of equations and inequalities and the main notions of analytic geometry.
Lezioni frontali. Le esercitazioni hanno anche l'obiettivo di coinvolgere gli studenti alla risoluzione dei problemi proposti.
Face to face lessons. The exercises also aim to involve students in solving the proposed problems.
LOGICA ED INSIEMI. Concetto di insieme: appartenenza, sottoinsiemi ed uguaglianza, unione,
intersezione e differenza. Insiemi numerici: N, Z, Q, R e loro proprietà fondamentali. Elementi di linguaggio
matematico. Principio di induzione. Binomio di Newton.
POTENZE, ESPONENZIALI E LOGARITMI. Potenze con esponente intero. Potenze con esponente
razionale. Proprietà algebriche delle potenze. Disuguaglianze tra potenze. Funzioni esponenziali: proprietà
fondamentali e grafici relativi. Definizione di logaritmo: proprietà dei logaritmi, formula del cambio di base.
FUNZIONI. Concetto di funzione. Funzioni iniettive, surgettive, invertibili. Insieme immagine di una
funzione. Funzioni pari, dispari, periodiche, monotone. Assioma di continuità dei numeri reali. Insiemi
limitati inferiormente, limitati superiormente, limitati. Massimo e minimo di un insieme. Maggioranti e
minoranti. Estremo inferiore e superiore.
LIMITI. Limite di una successione di numeri reali. Teoremi di unicità del limite, di permanenza del segno,
del confronto, dei carabinieri, del limite della somma, del prodotto, del quoziente. Forme indeterminate.
Successioni monotone: esistenza del limite. Successioni limitate. Sottosuccessioni. Definizione di limite di
una funzione. Teoremi sui limiti di funzione analoghi a quelli per le successioni. Limiti notevoli di funzioni.
CALCOLO DIFFERENZIALE IN UNA VARIABILE. Funzioni continue e relativi teoremi.
Continuità delle funzioni elementari. Teoremi di esistenza degli zeri, di Weierstrass e dei valori intermedi.
Immagine di una funzione continua su un intervallo. Derivata di una funzione. Derivata della somma, del
prodotto, del quoziente, della composizione. Calcolo della derivata di funzioni elementari. Legami tra
continuità e derivabilità. Derivata della funzione inversa e suo calcolo per funzioni elementari. Teoremi di
Rolle e di Lagrange. Massimi e minimi. Relazione tra il segno della derivata e la monotonia. Teorema di de
l'Hopital. Studio di funzioni. Grafici e loro interpretazione. Operazioni elementari sui grafici; parità,
disparità, periodicità di una funzione, valore assoluto.
CALCOLO INTEGRALE IN UNA VARIABILE. Integrale di Riemann per funzioni limitate su
intervalli limitati. Significato geometrico. Integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni continue.
Proprietà dell'integrale. Funzione integrale. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del
calcolo integrale. Primitive di una funzione continua e loro utilizzo per il calcolo di integrali definiti.
Primitive delle funzioni elementari. Formula di integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle
funzioni razionali. Integrali impropri (cenni).
LOGIC AND SETS. Concept of sets: elements, subsets, equality, union, intersection and difference. Numerical sets: N, Z, Q, R and their fundamental properties. Elements of mathematical language. Induction principle. Newton's binomial theorem.
POWERS, EXPONENTIALS AND LOGARITMS. Powers with integer exponent. Powers with rational exponent. Algebraic properties of powers. Inequalities between powers. Exponential functions: fundamental properties and related charts. Definition of logarithm: properties of logarithms, basis change formula.
FUNCTIONS. Function concept. Injective, surjective, invertible functions. Image set of a function. Even, odd, periodic, monotone functions. Axiom of continuity of real numbers. Numerical sets limited. Maximum and minimum of a set. Lower and upper extremes.
LIMITS. Limit of a succession of real numbers. Theorems of the uniqueness of the limit, of permanence of the sign, of the comparison, of "carabinieri", of the limit of the sum, of the product, of the quotient. Indefinite forms. Monotonic successions: existence of the limit. Limited successions. Definition of limit of a function. Theorems on function limits similar to those for successions. Important limits of functions.
DIFFERENTIAL CALCULUS IN A VARIABLE. Continuous functions and related theorems. Continuity of elementary functions. Theorems of existence of zeros, Weierstrass and intermediate values. Image of a continuous function on a range. Derivative of a function. Derivative of the sum, of the product, of the quotient, of the composition of functions. Calculation of the derivative of elementary functions. Links between continuity and derivability. Derivative of the inverse function and its calculation for elementary functions. Theorems of Rolle and Lagrange. Maxima and minima. Relationship between the sign of the derivative and the monotony. De l'Hopital theorem. Functions' study. Charts and their interpretation. Basic operations on the graphs; parity, disparity, frequency of a function, absolute value.
INTEGRAL CALCULATION IN A VARIABLE. Riemann Integral for limited functions over limited intervals. Geometric meaning. Integrability of monotonic functions and continuous functions. Properties of the integral. Integral function. The integral average theorem. Fundamental theorem of integral calculus. Primitives of a continuous function and their use for the calculation of defined integrals. Primitives of elementary functions. Integration formula for parts and for replacement. Integration of rational functions. Improper integrals.
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Prova scritta e prova orale
Written test and subsequent oral exam.
