ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| GEOMETRIA RIEMANNIANA | MAT/03 | LEZIONI | 42 |
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Lo studente che completa il percorso con successo acquisirà solide conoscenze su alcuni risultati fondamentali della geometria riemanniana nei suoi seguenti aspetti: campi di Jacobi; gruppo delle isometrie; spazi simmetrici riemanniani.
Tthe student who successfully completes the course will acquire a solid knowledge on some fundamental results in Riemannian geometry, in its following aspects: Jacobi fields; isometry group; Riemannian symmetric spaces.
Esame orale.
Oral exam.
Saper comprendere, riprodurre e spiegare gli enunciati e le dimostrazioni di alcuni risultati fondamentali su campi di Jacobi, gruppo di isometrie e spazi simmetrici riemanniani.
Being able to understand, reproduce and explain statements and proofs of some fundamental results on Jacobi fields, isometry group and riemannian symmetric spaces.
Esame orale.
Oral exam.
Non rilevante per il tipo di corso.
Not relevant for the course.
Nessuna.
None.
Geometria riemanniana e differenziale di base: varietà differenziabili, metriche riemanniane, curvatura, geodetiche, gruppi di Lie. Questi argomenti vengono trattati nel corso di Istituzioni di Geometria, che si consiglia di seguire prima.
Basic Riemannian and differential geometry: smooth manifolds, Riemannian metrics, curvature, geodesics, Lie groups. These topics are covered in the course "Istituzioni di Geometria"; following it in advance is recommended.
Lezioni frontali.
Delivery: face to face.
Formula di Synge e campi di Jacobi.
Teorema di Cartan-Hadamard. Gruppo fondamentale di una varietà riemanniana di curvatura non positiva; teorema di Preissmann.
Metriche di curvatura positiva: teorema di Myers. Teorema di Synge. Teorema di Klingerberg sul raggio di iniettività di una metrica a curvatura sezionale positiva limitata. Teorema della sfera di Berger.
Gruppo di isometrie di una varietà riemanniana; gruppo delle trasformazioni affini. Gruppo di isometrie di una varietà compatta. Campi di Killing.
Dimensione del gruppo delle isometrie. Classificazione delle varietà riemanniane con gruppo di isometrie di dimensione 1/2n(n+1).
Spazi localmente simmetrici. Trasvezioni.
Algebre di Lie ortogonali involutive e loro struttura; duale.
Spazi simmetrici globali e loro struttura. Esempi.
Gruppo fondamentale, gruppo di isometrie e curvatura di uno spazio simmetrico.
Synge's formula and Jacobi fields.
Cartan-Hadamard theorem. Fundamental grouip of a Riemannian manifold of nonpositive curvature; Preissmann theorem.
Metrics of positive curvature: Myers' theorem. Synge's theoremn. Klingerberg's theorem on the injectivity radius of a metric with bounded positive sectional curvature. Berger's sphere theorem.
Isometry group of a Riemannian manifold; group of affine transformations. Isometry group of a copmact manifold. Killing fields.
Dimension of the group of isometries. Classification of Riemannian manifolds with isometry group of dimension 1/2n(n+1).
Locally symmetric spaces. Transvections.
Involutive orthogonal Lie algebras and their structure; dual.
Global symmetric spaces and their structure. Examples.
Fundamental group, isometry group and curvature of a symmetric space.
Petersen, Riemannian geometry. Springer.
Kobayashi, Transformation groups in differential geometry. Springer.
Wolf. Spaces of constant curvature. AMS Chelsea Publishing.
Petersen, Riemannian geometry. Springer.
Kobayashi, Transformation groups in differential geometry. Springer.
Wolf. Spaces of constant curvature. AMS Chelsea Publishing.
Fare riferimento al materiale pubblicato sulla pagina elearning del corso.
Referring to the elearning webpage of the course.
Esame orale.
Oral exam.
