STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS AND APPLICATIONS
Academic year2023/24
CourseMATHEMATICS
Code555AA
Credits6
PeriodSemester 2
LanguageItalian
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) |
| EQUAZIONI DIFFERENZIALI STOCASTICHE E APPLICAZIONI | MAT/06 | LEZIONI | 42 | |
Obiettivi di apprendimento
Conoscenze
Illustrare alcune proprietà e strumenti distintivi di equazioni differenziali stocastiche (EDS) e alcuni classi di esempi rilevanti, ad esempio:
- risultati di buona positura e legame con equazioni differenziali alle derivate parziali
- strumenti per l'analisi delle EDS in dimensione uno (es. test di Feller)
- comportamento a tempi grandi
- proprietà di flusso
- diffusioni interagenti
- regolarizzazione per rumore
Knowledge
Outline some properties and distinctive tools of stochastic differential equations (SDEs) and certain relevant classes of examples, such as:
- Well-posedness results and connection to partial differential equations
- Tools for analyzing SDEs in one dimension (e.g., Feller's test)
- Long time behaviour
- Flow properties
- Interacting diffusions
- Regularization by noise
Modalità di verifica delle conoscenze
Nella prova d'esame, lo studente sarà valutato riguardo la sua capacità di discutere i concetti principali, formulare i risultati principali e saperli dimostrare, formulare esempi.
Assessment criteria of knowledge
In the exam, the student will be evaluated based on their ability to discuss the main concepts, formulate key results, demonstrate them, and provide examples.
Capacità
- Applicare i risultati visti a lezione ad esempi di equazioni differenziali stocastiche
- Comprendere ed elaborare ragionamenti matematici sulle equazioni differenziali stocastiche
Skills
- Applying the results seen in the course to examples of stochastic differential equations
- Understanding and building mathematical reasoning related to stochastic differential equations
Modalità di verifica delle capacità
Nella prova d'esame, lo studente sarà valutato riguardo la sua capacità di comprendere ed elaborare in autonomia ragionamenti sulle equazioni differenziali stocastiche.
Assessment criteria of skills
In the exam, the student will be evaluated on their ability to independently understand and elaborate on reasoning related to stochastic differential equations.
Prerequisiti (conoscenze iniziali)
Il corso "Istituzioni di probabilità", o quantomeno i principali strumenti del calcolo stocastico (moto browniano, martingale, formula di Ito).
Prerequisites
The course 'Istituzioni di probabilità', or at least the main tools of stochastic calculus (Brownian motion, martingales, Ito formula).
Programma (contenuti dell'insegnamento)
- Buona positura, formule di Feynman-Kac, unicità in legge e teorema di Girsanov
- Equazioni differenziali stocastiche unidimensionali e test di Feller sull'esplosione
- Comportamento a tempi grandi e distribuzioni invarianti
- Proprietà di flusso
- Sistemi di particelle interagenti tramite campo medio e EDS di McKean-Vlasov
- Regolarizzazione per rumore
L'esatto elenco degli argomenti può variare anche in base al tempo a disposizione e alle preferenze degli studenti.
Syllabus
- Well-posedness, Feynman-Kac formulae, uniqueness in law and Girsanov theorem
- One-dimensional SDEs and Feller test of explosion
- Long-time behaviour and invariant distributions
- Flow properties
- Mean-field interacting article systems and McKean-Vlasov SDEs
- Regularization by noise
The precise list of topics can change according also to time restriction and to the students’ preferences.
Bibliografia e materiale didattico
- P. Baldi, Stochastic Calculus: An Introduction Through Theory and Exercises, Springer, 2017
- R. Bass, Stochastic Processes, Cambridge University Press, 2011
- D. Revuz, M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion. Third edition, Springer, 2005
- R. Khasminskii, Stochastic Stability of Differential Equations. Second edition, Springer, 2012
- A.-S. Sznitman, Topics in propagation of chaos, in: Ecole d'Eté de Probabilités de Saint-Flour XIX -- 1989, Springer, 1991
Altre referenze potranno essere fornite durante il corso.
Bibliography
- P. Baldi, Stochastic Calculus: An Introduction Through Theory and Exercises, Springer, 2017
- R. Bass, Stochastic Processes, Cambridge University Press, 2011
- D. Revuz, M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion. Third edition, Springer, 2005
- R. Khasminskii, Stochastic Stability of Differential Equations. Second edition, Springer, 2012
- A.-S. Sznitman, Topics in propagation of chaos, in: Ecole d'Eté de Probabilités de Saint-Flour XIX -- 1989, Springer, 1991
Other references could be given during the course.
Indicazioni per non frequentanti
Per i non frequentanti: erame orale sui contenuti del corso.
Non-attending students info
For non-attending students: oral exam on the course contents.
Modalità d'esame
Per i frequentanti: esame orale sui contenuti del corso e/o seminari sugli argomenti del corso.
Per i non frequentanti: erame orale sui contenuti del corso.
Assessment methods
For attending students: oral exam on the course contents and/or seminars on the course topics.
For non-attending students: oral exam on the course contents.
Altri riferimenti web
Verrà usata almeno una tra:
- classe MS Teams
- Google classroom
- pagina e-learning del corso
Pagina di presentazione del corso, con maggiori informazioni sul corso:
https://www.dm.unipi.it/didattica/wp-content/uploads/sites/3/2023/09/PresCorsi_2324_EqDiffStocAppl_Maurelli.pdf
Additional web pages
At least one of the following will be used:
- MS Teams class
- Google classroom
- e-learning webpage of the course
Webpage of the course presentation, with other information on the course:
https://www.dm.unipi.it/didattica/wp-content/uploads/sites/3/2023/09/PresCorsi_2324_EqDiffStocAppl_Maurelli.pdf
Updated: 17/12/2023 00:54
