Valori assoluti in un campo: dipendenza fra valori assoluti e
topologia indotta. Teorema di Ostrowski.

I numeri $p$-adici: definizione, struttura additiva e struttura
moltiplicativa. Completamento di un campo di numeri rispetto ai suoi
valori assoluti. Estensioni di valori assoluti ad estensioni
algebriche. Gradi locali, norma e traccia locali. Teorema di
approssimazione simultanea. Lemma di Krasner.

Estensioni di campi $p$-adici: classificazione delle estensioni
non ramificate e delle estensioni debolmente ramificate e loro sottogruppi
normici.

Dualit\`a di moduli rispetto alla traccia. Il differente di
un'estensione. Estensioni monogeniche, moltiplicativit\`a del
differente nelle torri di estensioni, propriet\`a locali del
differente. Dicriminante di un'estensione. Relazioni fra differente,
discriminante e ramificazione. Relazioni fra la fattorizzazione dei
primi nelle estensioni dei campi di numeri e la fattorizzazione di
polinomi sui campi locali.

$S$-interi, $S$-unit\`a e teorema di struttura delle $S$-unit\`a.

Estensioni di Galois. Gruppi di decomposizione e gruppi di Galois
locali. Conseguenze del teorema di Cebotarev. Gruppi di Galois delle
estensioni locali debolmente ramificate. Gruppi di ramificazione:
struttura della catena dei gruppi di ramificazione, risolubilit\`a
delle estensioni locali finite, salti nei gruppi di ramificazione.

Corrispondenza fra estensioni abeliane finite di campi $p$-adici e
sottogruppi normici. Teorema di Kronecker-Weber locale e globale.

Testi consigliati

{\sc S. Lang}, Algebraic Number Theory, 2nd Edition, Springer Verlag
1994.

{\sc J.W.S. Cassels} and {\sc A. Fr\"ohlich} (eds.), Algebraic Number
Theory, Academic Press 1967.

{\sc J-P. Serre}, Local fields, Springer Verlag 1979.

{\sc J. Neukirch}, Class field theory, Springer Verlag 1986.

{\sc A. Fr\"ohlich} and {\sc M.J.Taylor}, Algenraic number thoery, Cambridge University Press 1991.

esame orale