CdSINGEGNERIA CHIMICA
Codice520AA
CFU6
PeriodoPrimo semestre
LinguaItaliano
| Moduli | Settore/i | Tipo | Ore | Docente/i | |
| CALCOLO NUMERICO | MAT/08 | LEZIONI | 60 |
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Gli obiettivi del corso sono i seguenti:
- fornire conoscenze riguardanti i metodi numerici di base e la analisi delle loro principali proprietà;
- sviluppare la capacità dello studente all'utilizzo corretto e consapevole ed alla implementazione su calcolatore degli strumenti matematici introdotti.
Questo in vista del loro impiego nello studio, nell'analisi e nell'approfondimento dei fenomeni fisici e chimici e nella risoluzione dei problemi dell'Ingegneria.
The student who successfully completes the course will be able to demonstrate a solid knowledge of the basic topics of numerical calculus. In particular, he/she will be able to evaluate a numerical scheme from both the point of views of the accuracy of the approximation it provides and the computational cost of its implementation.
Durante la prova orale lo studente dovrà dimostrare di aver acquisito conoscenze sui contenuti del corso utilizzando terminologia appropriata. Si richiede inoltre di dimostrare conoscenze riguardanti l'effettivo utilizzo dei metodi numerici presentati.
During the oral exam, the student must be able to demonstrate his/her knowledge of the main course contents using the appropriate terminology. He/She must also demonstrate some ability of putting into practice, with critical awareness, some of the activities carried out in laboratory during the course.
Al termine del corso, lo studente avrà acquisito capacità riguardanti la scelta, il corretto utilizzo e l'implementazione su calcolatore di un metodo numerico.
The student who successfully completes the course will be able to choose and use correctly a numerical method.
Prova orale con discussione di un elaborato preparato dal candidato.
Final oral exam with discussion of a laboratory report.
Lo studente potrà acquisire sensibilità riguardanti l'utilizzo di un metodo numerico e la analisi della accuratezza e della affidabilità delle approssimazioni da esso fornite.
The student who successfully completes the course will be able to analyze the accuracy and the reliability of the approximations provided by a numerical scheme.
Prova orale con discussione di un elaborato preparato dal candidato.
Final oral exam with discussion of a laboratory report.
E' necessaria la conoscenza di nozioni fondamentali fornite durante corsi standard di Analisi Matematica ed Algebra Lineare. In maggior dettaglio:
- Analisi Matematica: Funzioni e successioni, Limiti, Calcolo differenziale in una o piu' variabili, Sviluppi di Taylor, Calcolo integrale in una variabile, Problemi ai valori iniziali per sistemi di equazioni differenziali ordinarie;
- Algebra Lineare: Spazi vettoriali, Sistemi lineari, Algebra delle matrici; Autovalori ed Autovettori.
The knowledge of the main notions provided during a basic course of Calculus and of Linear Algebra is required. In more detais:
- Calculus: Functions and sequences, Limits, Differential calculus, Taylor expansion, Integral calculus in one variable, Initial value problems for ordinary differential equations;
- Linear Algebra: Vector spaces, Linear systems, Matrix algebra, Eigenvalues.
Metodi di insegnamento:
- Lezioni frontali
- Esercitazioni in laboratorio informatico
Frequenza: consigliata
Teaching methods:
- Lectures
- Laboratory
Attendance: Advised
Il corso fornisce conoscenze riguardanti i seguenti argomenti:
- ANALISI DELL'ERRORE: errore assoluto ed errore relativo. Tipologie di errore. Numeri di macchina. Rappresentazione mediante troncamento ed arrotondamento. Precisione di macchina. Overflow ed Underflow. Aritmetica finita. Condizionamento di un problema. Condizionamento delle quattro operazioni algebriche fondamentali;
- APPROSSIMAZIONE DI ZERI DI FUNZIONE: Il metodo di bisezione: criteri di arresto, condizionamento del problema ed ordine di convergenza. Il metodo di Newton: convergenza locale ed ordine di convergenza quadratico per radici semplici. Il caso di radici multiple: convergenza lineare e ripristino dell'ordine quadratico per il caso di molteplicità esatta nota a priori. Metodi quasi-Newton.
- RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI E NON LINEARI: Casi semplici. Fattorizzazione LU: esistenza, unicità e costo computazionale. Matrici a diagonale dominante. Matrici simmetriche e definite positive: fattorizzazione LDLT e cenni sulla Cholesky. Pivoting. Condizionamento del problema. Metodi iterativi di base. Sistemi lineari sovradeterminati: soluzione nel senso dei minimi quadrati, metodo delle equazioni normali e cenni sul metodo basato sulla fattorizzazione QR. Il metodo di Newton per sistemi di equazioni non lineari.
- APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI: Interpolazione polinomiale: esistenza ed unicità del polinomio interpolante. Forma di Lagrange. Cenni sulla analisi dell'errore. Il metodo dei minimi quadrati nel discreto.
- INTEGRAZIONE NUMERICA: Formule di quadratura di tipo interpolatorio. Formule di Newton-Cotes: il metodo dei trapezi ed il metodo di Simpson semplici. Analisi dell'errore. Grado di precisione di una formula di quadratura e formule gaussiane (cenni). Analisi del condizionamento di un integrale definito e di una formula di quadratura. Metodo dei trapezi e di Simpson compositi e relativa analisi dell'errore.
- METODI NUMERICI PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE: Metodi ad un passo. Errore locale di troncamento ed ordine di consistenza (o accuratezza). Analisi di convergenza. I metodi di Eulero esplicito, implicito e dei trapezi. Metodi Runge-Kutta: tavola di Butcher, metodi espliciti e impliciti. Analisi lineare di assoluta stabilità. Metodi A-stabili ed A(alfa)-stabili. Equazioni Stiff. Metodi lineari a più passi. Errore locale di troncamento ed ordine di consistenza. Zero stabilità. Teorema di convergenza e prima barriera di Dahlquist. Analisi lineare di assoluta stabiltà e seconda barriera di Dahlquist.
Il corso include inoltre attività di laboratorio finalizzata alla acquisizione delle principali nozioni riguardanti la implementazione su calcolatore elettronico dei metodi numerici presentati durante le ore di lezione frontale.
The course provides notions on error analysis, finite precision number system and arithmetic, numerical approximation of the solution of nonlinear equations, efficient methods for the solution of systems of linear and non linear equations. The course also approaches the main issues related to function approximation, numerical integration and numerical solution of initial value problems for ordinary differential equations.
Testi consigliati:
- L.Brugnano, C.Magherini, A.Sestini. Calcolo Numerico, terza edizione. Masterbooks, Firenze 2014.
- P.Ghelardoni, G.Gheri, P.Marzulli. Elementi di calcolo numerico (dispense disponibili in rete).
- L.Brugnano, C.Magherini, A.Sestini. Calcolo Numerico, terza edizione. Masterbooks, Firenze 2014.
- P.Ghelardoni, G.Gheri, P.Marzulli. Elementi di calcolo numerico (available on web).
Non sussiste alcuna variazione per non frequentanti.
There is no variation for non-attending students.
Prova orale con:
- discussione di un elaborato preparato dal candidato;
- verifica che il candidato abbia acquisito conoscenze sufficienti in merito ai contenuti del corso.
Per quanto riguarda l'elaborato il candidato dovrà:
- scegliere un metodo numerico descritto durante le ore di lezione frontale;
- scrivere un codice Matlab/Octave che lo implementi;
- effettuare dei test numerici con tale codice applicandolo per risolvere particolare problemi, che lo studente può scegliere liberamente;
- commentare i risultati ottenuti;
- presentarsi alla prova orale con una copia cartacea del codice redatto, dei test effettuati e dei relativi commenti e saper descrivere al docente il lavoro svolto.
Per la impostazione dell'elaborato lo studente potrà utilizzare come esempi le esercitazioni svolte in laboratorio informatico (consultare la pagina del corso sul portale e-learning).
In riferimento alla verifica delle conoscenze acquisite, il candidato dovrà dimostrare, usando terminologia appropriata, di aver appreso sufficienti nozioni sui criteri per la scelta di un metodo numerico, sulle sue modalità di utilizzo e sulle sue principali proprietà con particolare riferimento alla accuratezza della approssimazione fornita ed al costo computazionale richiesto per determinarla.
La prova orale consisterà in un colloquio della durata media di quaranta minuti tra il docente ed il candidato.
Final oral exam with discussion of a laboratory report consisting of:
- a Matlab/Octave code that implements one numerical method described during the lectures;
- the results of some numerical experiments carried out with such code applied for solving specific problems;
- comments on the results obtained.
The final oral exam will then consists of two parts: in the first one the candidate must describe to the lecturer the laboratory report while the second one will consist of an interview about the contents of the course. The expected duration of the final exam is forty minutes.