Scheda programma d'esame
ANALISI MATEMATICA
ELISABETTA CHIODAROLI
Anno accademico2018/19
CdSINFORMATICA
Codice005AA
CFU9
PeriodoPrimo semestre

ModuliSettoreTipoOreDocente/i
ANALISI MATEMATICAMAT/05LEZIONI72
ELISABETTA CHIODAROLI unimap
VINCENZO MARIA TORTORELLI unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Questo corso è dedicato allo studio dell'analisi matematica: limiti, continuità, calcolo differenziale e integrazione, successioni e equazioni differenziali ordinarie.

Knowledge

This course is devoted to the study of calculus: limits, continuity, derivation and integration, sequences and ordinary differential equations.

Modalità di verifica delle conoscenze

Metodi:

  • Esame conclusivo scritto
  • Esame conclusivo orale

 

Assessment criteria of knowledge

Methods:

  • Final oral exam
  • Final written exam

 

Capacità

Esame qualitativo e quantitativo del comportamento di una funzione di variabile reale.

Calcolo di limiti, derivate e integrali.

Soluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali ordinarie(lineari del primo ordine, a variabili separabili, di secondo ordine a coefficienti costanti).

 

 

Skills
 

Qualitative and quantitative evaluation of the behaviour of a real function. 

Calculus of limits, derivatives and integrals.

Resolution of the basic ordinary differential equations (first order linear, separable veriables, second order with constant coefficients).

 

Modalità di verifica delle capacità

Verifiche intermedie.

Assessment criteria of skills

Mid period tests.

Comportamenti

Lo studente imparerà a capire quali sono gli strumenti necessari a risolvere un problema di Analisi Matematica.

Behaviors

The student will learn which tools are appropriate to solve a problem related to mathematical analysis.

 
Modalità di verifica dei comportamenti

Nelle esercitazioni verranno analizzate le capacità degli studenti nell'affrontare un problema matematico.

Assessment criteria of behaviors

In practical classes the students will show their competence facing a mathematical problem.

 
Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Nozioni di calcolo di base: disuguaglianze, trigonometria, funzione esponenziale, logaritmi, polinomi.

 

Prerequisites

Basic calculus: inequalities, trigonometry, exponential, logarithm, polynomial.

Indicazioni metodologiche

Lezioni frontali.

Attività di apprendimento:

  • seguire le lezioni
  • partecipare a discussioni
  • studio individuale

Frequenza consigliata.

Metodi di insegnamento:

  • Lezioni in aula

 

Teaching methods

Delivery: face to face

Learning activities:

  • attending lectures
  • participation in discussions
  • individual study

Attendance: Advised

Teaching methods:

  • Lectures

 

Programma (contenuti dell'insegnamento)

Invertibiltà di una funzione: dominio, immagine, grafico. Funzioni pari, dispari, periodiche e monotone. Assioma di completezza dei numeri reali. Insiemi limitati. Massimo e minimo di un insieme. Estremi superiore e inferiore. Valore assoluto e disuguaglianza triangolare.

Continuità. Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Continuità della funzione inversa.

Limiti. Punti di accumulazione e punti interni. Limiti da sinistra e da destra. Realzione fra continuità e limite. Unicità del limite. Teorema dei Carabinieri. Limite della funzione inversa. Teorema sulla permanenza del segno. Limite della composizione di funzioni. Limite di una funzione monotona. Infinitesimi e infiniti. Massimo e minimo di funzioni definite su insiemi non limitati. Asintoti.

Calcolo differenziale. Derivata. Derivate destra e snistra. Relazione fra derivabilità e continuità. Retta tangente al grafico. Derivate di ordine superiore al primo. Derivata della funzione inversa e della composizione di funzioni. Monotonia e segno della derivata. Punti di massimi o di minimo locali. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange. Segno della derivata seconda nei punti di massimo o minimo locali. teorema di De L'Hôpital. Formula di Taylor. Polinomi di Taylor delle funzioni elementari. Convessità. Punti angolosi e di cuspide. Grafico qualitativo di una funzione.

Successioni. Limite di una successione. Sotto-successioni. Teorema dei Carabinieri. Esistenza del limite e limitatezza. Successioni divergenti. Composizione tra successioni e funzioni. Criteri del rapporto e della radice. Il fattoriale.

Calcolo integrale. L'integrale di Riemann. Integrabilità delle funzioni generalmente continue. Linearità dell'integrale. Additività rispetto all'intervallo di integrazione. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali con estremi di integrazione variabili. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrale delle funzioni razionali.

Equazioni differenziali ordinarie. Equazioni del primo ordine con coefficienti continui. Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari del secondo ordine con coefficienti costanti.

 

 

Syllabus

Invertibility of a function: domain, image, graph. Even, odd, periodic and monotone functions. . Bounded sets. Maximum and minimum of a set. Least upper bound and greatest lower bound of a set. Absolute value and triangle inequality.

Continuity. The intermediate value theorem. The extreme value theorem. Continuity of the inverse function.

Limits. Cluster points and interior points. Right-hand and left-hand limits. Connection between continuity and limit. Uniquenes of the limit. The squeeze theorem. Limit of the inverse of a function. Sign of a function and sign of its limit. Limit of the composition of functions. Limit and monotone functions. Infintesimal and infinite. Maximum and minimum for functions defined on a unboundet set. Asymptotes.

Differential calculus. Derivative. Right-hand and left-hand derivatives. Connection between differentiability and continuity. Tangent to a graph. Higher derivatives. Derivative of the inverse function and of the composition of functions. Monotonicity and sign of the derivative. Local extremals of a function. Fermat, Rolle and Lagrange theorems. Second derivative and extremals. De L'Hôpital theorem. Taylor formula. Taylor polinomials of elementary functions. Convexity. Cusp and vertex points. Qualitative graph of a function.

Sequences. Limit of a sequence. Subsequences. The squeeze theorem. Limit existence and boundedness. Diverging sequences. Composition between sequences and functions. Ratio and root criteria. The factorial.

Integral calculus. The Riemann integral. Integrability of piecewise continuous functions. Linearity of the integral. Additivity with respect to the integration inteval. Mean value theorem. Potential of a continuous function. Integrals with endpoints depending on a parameter. Integration by parts and by change of variable. Integral of a rational function.

Ordinary differential equations. First order linear equations with continuous coefficients. Separable equations. Second order linear equations with constant coefficients.

 

Bibliografia e materiale didattico
  • ACERBI E., BUTTAZZO G.: Analisi matematica ABC. 1-Funzioni di una variabile, Pitagora Editrice, Bologna

    (2003)

  • BUTTAZZO G., GAMBINI G., SANTI E.: Esercizi di Analisi Matematica I, Pitagora Editrice, Bologna (1991).

  • AMAR M., BERSANI A.M.: Analisi Matematica 1 Esercizi e richiami di teoria, Edizioni LaDotta, Bologna (2012).

 

Bibliography
  • ACERBI E., BUTTAZZO G.: Analisi matematica ABC. 1-Funzioni di una variabile, Pitagora Editrice, Bologna

    (2003)

  • BUTTAZZO G., GAMBINI G., SANTI E.: Esercizi di Analisi Matematica I, Pitagora Editrice, Bologna (1991).

  • AMAR M., BERSANI A.M.: Analisi Matematica 1 Esercizi e richiami di teoria, Edizioni LaDotta, Bologna (2012).

 

Modalità d'esame

Prova scritta consistente in 10 domande a risposta chiusa e 3 esercizi.

Esame orale facoltativo con verifica della conoscenza di teoremi e definizioni.

 

Assessment methods

Written exam with 10 short questions and 4 alternatives for each question and 3 exercises to be discussed extensively.

Optional oral exam to verify the knowledge of statements and definitions. 

 

Altri riferimenti web

https://elearning.di.unipi.it/course/view.php?id=127

Ultimo aggiornamento 12/01/2019 08:54