ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| MATEMATICA | MAT/05 | LEZIONI | 84 |
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Lo studente potrà acquisire i primi elementi di logica e insiemi, assieme al concetto di funzione, principalmente riferendosi alle potenze, ai polinomi e alla funzione esponenziale. Nell'ambito del calcolo infinitesimale, lo studente potrà apprendere sia gli aspetti teorici che relativi al calcolo per i limiti di una variabile, il calcolo differenziale e l'integrazione. Tali argomenti porteranno infine alle conoscenza delle principali equazioni differenziali ordinarie di una variabile.
The student will be able to master basic notions of logic, sets, the notion of function, mainly considering powers, polynomials and the exponential function. Concerning Infinitesimal Calculus, the student will have the possibility to learn limits of functions of one real variable, then differential calculus and integration for functions of one real variable.
La verifica delle conoscenze consisterà nella valutazione dell'elaborato scritto e della prova orale, previsti in ogni sessione d'esame.
The student's knowledge will be assessed through a written and an oral examination, in any of the exam sessions.
Alla fine del corso lo studente sarà in grado di studiare le principali caratteristiche, analitiche e geometriche, di funzioni di una variabile reale. Avrà inoltre acquisito la capacità di applicare il calcolo differenziale e integrale per specifici problemi inerenti a funzioni di una variabile reale.
At the end of the course, the student will be able to study the main analytic and geometric properties of functions of one real variable. The student will be also able to apply Differential and Integral Calculus for specific problems involving functions of one real variable.
Le capacità acquisite dallo studente potranno verificarsi sia durante le esercitazioni che nella valutazione delle prove d'esame.
The student skills will be verified both during the exercise sessions and in the final exam.
Lo studente potrà acquisire un metodo logico e operativo in relazione a problemi che si possano modellizzare tramite funzioni reali di una variabile reale. Tale metodo potrà applicarsi sia da un punto di vista teorico che applicativo.
The student will be able to get a rigorous method in dealing with problems that can be modeled by a real function of one real variable. This method can be applied following both a theoretical and an applied viewpoint.
La verifica dell'utilizzo degli strumenti matematici presentati nel corso avverrà principalmente attraverso la valutazione delle prove d'esame.
The assessment of how the student is able to use the mathematical tools presented in the course will take place mainly through the evaluation of the final exam.
Le conoscenze richieste allo studente consistono nell'algebra elementare, specialmente in riferimento alla risoluzione di equazioni e di disequazioni di secondo grado. È inoltre richiesta la conoscenza dei primi elementi di geometria analitica.
The student is supposed to have a basic knowledge of elementary algebra, especially in relation to the solution of equations and inequalities arising from polynomials of second degree. Basic knowledge of Analytic Geometry is also required.
Le lezioni saranno tenute per via telematica per contrastare la diffusione del virus Covid-19 (come deciso dagli organi competenti dell'Ateneo di Pisa)
The lessons will be held online to counter the spread of the Covid-19 virus (as decided by the Governance of the University of Pisa)
LOGICA ED INSIEMI. Elementi di logica e linguaggio matematico. Concetto di insieme: appartenenza, sottoinsiemi ed uguaglianza, unione, intersezione e differenza. Numeri naturali, razionali, reali e loro proprietà fondamentali. Principio di induzione. Binomio di Newton.
POTENZE, ESPONENZIALI E LOGARITMI. Potenze con esponente intero. Potenze con esponente
razionale. Proprietà algebriche delle potenze. Disuguaglianze tra potenze. Esponenziali: proprietà
fondamentali e grafici relativi. Definizione di logaritmo: proprietà dei logaritmi, formula del cambio di base.
FUNZIONI. Concetto di funzione. Funzioni iniettive, surgettive, invertibili. Insieme immagine di una
funzione. Funzioni pari, dispari, periodiche, monotone, lineari, trigonometriche, valore assoluto.. Assioma di completezza dei numeri reali. Insiemi limitati inferiormente, limitati superiormente, limitati. Massimo e minimo di un insieme. Maggioranti e minoranti. Estremo inferiore e superiore.
LIMITI. Limite di una successione di numeri reali. Teoremi di unicità del limite, di permanenza del segno,
del confronto, dei carabinieri, del limite della somma, del prodotto, del quoziente. Forme indeterminate.
Successioni monotone: esistenza del limite. Successioni limitate. Sottosuccessioni. Definizione di limite di
una funzione. Teoremi sui limiti di funzione analoghi a quelli per le successioni. Limiti notevoli di funzioni. Cenni sul concetto di ordine di infinitesimo e di ordine di infinito
CALCOLO DIFFERENZIALE IN UNA VARIABILE. Funzioni continue e relativi teoremi.
Continuità delle funzioni elementari. Teoremi di esistenza degli zeri, di Weierstrass e dei valori intermedi. Metodo di bisezione per il calcolo delle radici di una equazione. Immagine di una funzione continua su un intervallo. Derivata di una funzione. Derivata della somma, del prodotto, del quoziente, della composizione. Calcolo della derivata di funzioni elementari. Legami tra
continuità e derivabilità. Derivata della funzione inversa e suo calcolo per funzioni elementari. Teoremi di
Rolle e di Lagrange. Massimi e minimi. Relazione tra il segno della derivata e la monotonia. Teorema di de
l'Hopital. Studio di funzioni. Graficio di una funzione e suo legame con le proprietà della funzione, quali parità,
disparità, periodicità.
CALCOLO INTEGRALE IN UNA VARIABILE. Integrale di Riemann per funzioni limitate su
intervalli limitati. Significato geometrico. Integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni continue.
Proprietà dell'integrale. Funzione integrale. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del
calcolo integrale. Primitive di una funzione continua e loro utilizzo per il calcolo di integrali definiti.
Primitive delle funzioni elementari. Formula di integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle
funzioni razionali. Integrali impropri (cenni).
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Equazione caratteristica. Integrale generale. Il problema di Cauchy.
LOGIC AND SETS. Concept of sets: elements, subsets, equality, union, intersection and difference. Numerical sets: N, Z, Q, R and their fundamental properties. Elements of mathematical language. Induction principle. Newton's binomial theorem.
POWERS, EXPONENTIALS AND LOGARITMS. Powers with integer exponent. Powers with rational exponent. Algebraic properties of powers. Inequalities between powers. Exponential functions: fundamental properties and related charts. Definition of logarithm: properties of logarithms, basis change formula.
FUNCTIONS. Function concept. Injective, surjective, invertible functions. Image set of a function. Even, odd, periodic, monotone functions. Axiom of continuity of real numbers. Numerical sets limited. Maximum and minimum of a set. Lower and upper extremes.
LIMITS. Limit of a succession of real numbers. Theorems of the uniqueness of the limit, of permanence of the sign, of the comparison, of "carabinieri", of the limit of the sum, of the product, of the quotient. Indefinite forms. Monotonic successions: existence of the limit. Limited successions. Definition of limit of a function. Theorems on function limits similar to those for successions. Important limits of functions. Notes on the order of infinitesimal and order of infinity.
DIFFERENTIAL CALCULUS IN A VARIABLE. Continuous functions and related theorems. Continuity of elementary functions. Theorems of existence of zeros, Weierstrass and intermediate values. Bisection method. Image of a continuous function on a range. Derivative of a function. Derivative of the sum, of the product, of the quotient, of the composition of functions. Calculation of the derivative of elementary functions. Links between continuity and derivability. Derivative of the inverse function and its calculation for elementary functions. Theorems of Rolle and Lagrange. Maxima and minima. Relationship between the sign of the derivative and the monotony. De l'Hopital theorem. Functions' study. Charts and their interpretation. Basic operations on the graphs; parity, disparity, frequency of a function, absolute value.
INTEGRAL CALCULATION IN A VARIABLE. Riemann Integral for limited functions over limited intervals. Geometric meaning. Integrability of monotonic functions and continuous functions. Properties of the integral. Integral function. The integral average theorem. Fundamental theorem of integral calculus. Primitives of a continuous function and their use for the calculation of defined integrals. Primitives of elementary functions. Integration formula for parts and for replacement. Integration of rational functions. Improper integrals.
ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS. Linear differential equations with constant coefficients. Characteristic equation. General equation. Cauchy's problem.
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L'esame consiste in una test scritto di 60 minuti ed una prova orale sugli argomenti del corso.
Le prove d'esame, se svolte per via telematica, saranno tenute su un canale delle piattaforme indicate dall'Ateneo.
La prova scritta seguira' le modalita' riportate alla pagina
http://pagine.dm.unipi.it/ghelardoni/LTAgraria/Regole_Test_Telematici.pdf
Written exam and subsequent oral exam.
The exam tests, if performed electronically, will be held on a channel of the platforms indicated by the University.
The written test will follow the procedures shown on the page
http://pagine.dm.unipi.it/ghelardoni/LTAgraria/Regole_Test_Telematici.pdf
http://pagine.dm.unipi.it/ghelardoni/
