ECTS - University of Pisa
Lo studente acquisirà le conoscenze fondamentali sul calcolo differenziale e integrale.
Students will acquire fundamentals knowledge on differential and integral calculus.
Durante le ore di esercitazione è prevista una interazione con gli studenti per valutare eventuali difficoltà di apprendimento. Inoltre saranno svolte delle prove in itinere durante il corso.
During the lectures students are invited to interact to evaluate possible difficulties in learning. Moreover some test will be taken during the course.
Lo studente saprà applicare le regole del calcolo differenziale e integrale.
The students will be able to use methods from differential and integral calculus.
Conoscenza dei metodi algebrici per la risoluzione di equazioni e disequazioni.
Knowledge of algebraic methods to solve equations and inequalities.
Le lezioni si svolgono alla lavagna o, in parte, online. Il materiale didattico sarà disponibile sulla pagina web del docente. Sono previste prove in itinere.
The blackboard will be used in the lessons. Didactic material will available in the web page of the teacher. Partial test will be taken during the course.
I NUMERI REALI E TOPOLOGIA DELLA RETTA REALE
Proprietà elementari dei numeri reali. L'assioma di Dedekind. Estremo superiore e estremo inferiore di un insieme di numeri reali. Insiemi aperti e chiusi; punti di accumulazione; teorema di Bolzano-Weierstrass.
SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE
Successioni. Limite di una successione. Operazioni con i limiti. Il criterio di Cauchy. Serie numeriche. Limiti di successioni monotone; serie a termini positivi. Criteri di convergenza per le serie a termini positivi. Serie a segno alterno. Riordinamento di una serie. Serie di potenze. Raggio di convergenza.
FUNZIONI E LORO LIMITI; FUNZIONI CONTINUE
Definizione di funzione; grafico di una funzione. Funzione composta e funzione inversa. Limiti di funzioni. Limiti di funzioni monotone. Funzioni continue. Punti di discontinuità. Teorema degli zeri di una funzione continua, teorema di Weierstrass. Uniforme continuità. Funzioni continue invertibili.
CALCOLO DIFFERENZIALE IN UNA VARIABILE
La derivata: introduzione, definizione e prime proprietà. Differenziale. Derivate successive. Massimi e minimi relativi. Il teorema del valor medio. Calcolo dei limiti; teorema di de l'Hôpital. Funzioni convesse e concave. La formula di Taylor; resto di Peano e di Lagrange; sviluppi delle funzioni elementari. Funzioni analitiche.
CALCOLO INTEGRALE
L'integrale di Cauchy Riemann. Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone. Prime proprietà dell'integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. L'integrale in senso generalizzato. Criteri di convergenza per integrali impropri.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Convergenza uniforme di una successione di funzioni. Completezza dello spazio delle funzioni continue con la norma del sup. Teorema delle contrazioni. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie. Problema di Cauchy. Teorema di Cauchy-Lipschitz. Esempi di non unicità. Equazioni del primo ordine a variabli separabili. Equazioni differenziali lineari. Metodo della variazione delle costanti arbitrarie. Studio qualitativo delle soluzioni di un’equazione del primo ordine.
REAL NUMBERS AND REAL LINE TOPOLOGY
Elementary properties of real numbers. Dedekind axiom. Supremum and infimum of a set of real numbers. Open and closed sets; accumulation point; Bolzano-Weierstrass theorem.
NUMERICAL SEQUENCES AND SERIES
Sequences. Limit of a sequence. Operations with limits. Cauchy condition. Numerical series. Limit of monotonic sequences; series with positive terms. Convergence criterions for series of positive numbers. Alternating series. Reordering of a series. Power series. Convergence radius.
FUNCTIONS AND THEIR LIMITS; CONTINUOUS FUNCTIONS
Definition of function; graph of a function. Composition and inverse function. Limit of function. Limit of monotone functions. Continuous functions. Discontinuity points. Theorem of zeroes, Weierstrass theorem. Uniform continuity. Continuous invertible functions.
DIFFERENTIAL CALCULUS IN ONE VARIABLE
Derivative: introduction, definition and first properties. Differential. Subsequent derivatives. Relative maxima and minima. Mean value theroem. Computing limits; de l'Hôpital's Theorem. Convex and concave functions. Taylor's formula; with rest of Peano and Lagrange; expansion of elementary functions. Analitic functions.
INTEGRAL CALCULUS
Cauchy-Riemann integral. Integrability of continuous and monotone functinos. First properties of integral. Fundamental theorem of calculus. Integration by parts. Integration by substitution. Integration of rational functions. Generalized integration. Criterions for the convergence of generalized integrals.
DIFFERENTIAL EQUATIONS
Uniform convergence of a sequence of functions. Completeness of the space of continuous functions with the supremum norm. Theorem of contractions. Introduction to ordinary differential equations. Cauchy problem. Cauchy-Lipschitz theorem. Example of non-uniqueness. First order equations with separation of variables. Linear differential equations. Variation of constants. Qualitative study of the solutions to a first order equation.
Giusti "Analisi Matematica" Vol. I e Vol. II, ed Boringhieri.
Prodi "Analisi Matematica", ed. Boringhieri.
Acerbi - Buttazzo "Analisi Matematica 1", ed. Pitagora.
Bramanti - Pagani - Salsa "Analisi matematica 1" ed Zanichelli
Giusti "Analisi Matematica" Vol. I e Vol. II, ed Boringhieri.
Prodi "Analisi Matematica", ed. Boringhieri.
Acerbi - Buttazzo "Analisi Matematica 1", ed. Pitagora.
Bramanti - Pagani - Salsa "Analisi matematica 1" ed Zanichelli
Prove scritte parziali durante lo svolgimento del corso. Il superamento delle prove parziali esonera dall'esame scritto.
Prova scritta e prova orale.
Partial tests during the course. Written and oral exams.
Pagina web del docente: http://people.dm.unipi.it/colombin/
Teacher's web page: http://people.dm.unipi.it/colombin/
