ECTS - University of Pisa
Fondamenti di calcolo vettoriale (geometrico e astratto) come si richiede in tutta la Matematica moderna.
Fundamentals of vector calculus (geometric and abstract) as required in all modern mathematics.
esame scritto e orale, prove in itinere.
written and oral exam, ongoing tests.
tipica del ragionamento matematico: in particolare, capacita' di astrazione riconoscendo strutture simili in oggetti apparentemente diversi.
typical of mathematical reasoning: in particular, ability to abstraction by recognizing similar structures in apparently different objects.
domande e interventi in aula.
questions and speeches in the classroom.
la questione non mi sembra adeguata al tipo di corso
the question does not seem appropriate to the type of course
vedi campo precedente
see previous field
capacita' di ragionamento e deduzione logica: puo' essere d'aiuto aver studiato Geometria euclidea e geometria analitica nelle scuole superiori.
reasoning and logical deduction skills: it may be helpful to have studied Euclidean geometry and analytical geometry in high schools.
corsi frontali, si usano delle note (reperibili on line) scritte dal docente.
frontal courses, notes (available online) written by the teacher are used.
- Vettori geometrici: somma, prodotto esterno, prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto e scrittura in coordinate; applicazioni (distanze, angoli, aree, volumi); equazioni cartesiane e parametriche di rette e piani nello spazio.
- Assiomi di campo e di spazio vettoriale. Numeri complessi. Sottospazi, combinazioni lineari, span. Lineare indipendenza. Caratterizzazione delle basi. Ogni spazio vettoriale ha base (dimostrazione nel caso finitamente generato). Algoritmo di scambio, dimensione di uno spazio vettoriale. Somme e somme dirette. Formula di Grassmann.
- Teoria dei sistemi lineari (teorema di Roche'-Capelli, algoritmo di Gauss, rango, rango per righe=rango per colonne).
- Applicazioni lineari: nucleo, immagine, formula delle dimensioni, matrice associata. Composizione e prodotto righe per colonne. Formula del cambiamento di base (caso generale e caso della similitudine per endomorfismi). SD equivalenza. Invarianti per similitudine.
- Determinante: assiomi, gruppo simmetrico (segno di una permutazione), formula del determinante, sviluppo per righe e per colonne, matrice inversa. Teorema di Binet.
- Autovalori e autovettori: polinomio caratteristico, molteplicita' algebrica e geometrica, caso reale, diagonalizzabilita', criteri di diagonalizzabilita'. Indipendenza di autovettori relativi ad autovalori distinti. Polinomio minimo, caso diagonalizzabile, teorema di Hamilton-Cayley. Sottospazi invarianti, caso diagonalizzabile, criterio di diagonalizzabilita' simultanea. Triangolarizzabilita'.
- Prodotti scalari: matrice associata a un prodotto scalare. Formula di cambiamento di base (congruenza). Sottospazio radicale. Formula della dimensione dell'ortogonale di un sottospazio. Teorema di Lagrange e Gram-Schmidt. Teorema di Sylvester reale e complesso, segnatura. Vettori e sottospazi isotropi. Prodotti hermitiani. Operatori simmetrici ed hermitiani. Operatori ortogonali ed unitari. Teorema spettrale. Triangolarizzazione con matrici unitarie. Matrici normali (applicazione al teorema spettrale).
- Eigenvalues and eigenvectors: characteristic polynomial, algebraic and geometric multiplicity, real case, diagonalizability, diagonalizability criteria. Independence of eigenvectors related to distinct eigenvalues. Minimum polynomial, diagonalizable case, Hamilton-Cayley theorem. Invariant subspaces, diagonalizable case, simultaneous diagonalizability criterion. Triangularizability.
- Scalar products: matrix associated with a scalar product. Basic change formula (congruence). Radical subspace. Formula of the dimension of the orthogonal of a subspace. Lagrange and Gram-Schmidt theorem. Real and complex Sylvester theorem, signature. Isotropic vectors and subspaces. Hermitian products. Symmetric and Hermitian operators. Orthogonal and unitary operators. Spectral theorem. Triangularization with unit matrices. Normal matrices (application to the spectral theorem).
Prevalentemente note scritte del docente.
Testi di consultazione: Lang, Algebra lineare.
Mostly written notes from the teacher.
Reference texts: Lang, Linear Algebra.
non ci sono variazioni
there are no variations
Scritto e orale.
Written and oral.
http://people.dm.unipi.it/salvetti/GeometriaI_Fisica/indice2.html
http://people.dm.unipi.it/salvetti/GeometriaI_Fisica/indice2.html
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