ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| MATEMATICA | MAT/05 | LEZIONI | 84 |
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Lo studente potrà acquisire i primi elementi di logica e insiemi, assieme al concetto di funzione, principalmente riferendosi alle potenze, ai polinomi e alla funzione esponenziale. Nell'ambito del calcolo infinitesimale, lo studente potrà apprendere sia gli aspetti teorici che relativi al calcolo per i limiti di una variabile, il calcolo differenziale e l'integrazione. Tali argomenti porteranno infine alle conoscenza delle principali equazioni differenziali ordinarie di una variabile.
The student will be able to master basic notions of logic, sets, the notion of function, mainly considering powers, polynomials and the exponential function. Concerning Infinitesimal Calculus, the student will have the possibility to learn limits of functions of one real variable, then differential calculus and integration for functions of one real variable.
La verifica delle conoscenze consisterà nella valutazione dell'elaborato scritto e della prova orale, previsti in ogni sessione d'esame.
The student's knowledge will be assessed through a written and an oral examination, in any of the exam sessions.
Alla fine del corso lo studente sarà in grado di studiare le principali caratteristiche, analitiche e geometriche, di funzioni di una variabile reale. Avrà inoltre acquisito la capacità di applicare il calcolo differenziale e integrale per specifici problemi inerenti a funzioni di una variabile reale.
At the end of the course, the student will be able to study the main analytic and geometric properties of functions of one real variable. The student will be also able to apply Differential and Integral Calculus for specific problems involving functions of one real variable.
Le capacità acquisite dallo studente potranno verificarsi sia durante le esercitazioni che nella valutazione delle prove d'esame.
The student skills will be verified both during the exercise sessions and in the final exam.
Lo studente potrà acquisire un metodo logico e operativo in relazione a problemi che si possano modellizzare tramite funzioni reali di una variabile reale. Tale metodo potrà applicarsi sia da un punto di vista teorico che applicativo.
The student will be able to get a rigorous method in dealing with problems that can
be modeled by a real function of one real variable. This method can be applied
following both a theoretical and an applied viewpoint.
La verifica dell'utilizzo degli strumenti matematici presentati nel corso avverrà principalmente attraverso la valutazione delle prove d'esame.
The assessment of how the student is able to use the mathematical tools presented in the course will take place mainly through the evaluation of the final exam.
Le conoscenze richieste allo studente consistono nell'algebra elementare, specialmente in riferimento alla risoluzione di equazioni e di disequazioni di secondo grado. È inoltre richiesta la conoscenza dei primi elementi di geometria analitica.
The student is supposed to have a basic knowledge of elementary algebra, especially in relation to the solution of equations and inequalities arising from polynomials of second degree. Basic knowledge of Analytic Geometry is also required.
Il corso è costituito da lezioni frontali alla lavagna. Nelle esercitazioni ci sarà un maggiore momento di confronto, soprattutto in relazione alla risoluzione dei problemi proposti. È disponibile anche un ricevimento settimanale con il docente per chiarimenti sulle lezioni. La frequenza del corso è molto importante e fortemente raccomandata.
The class consists of lectures at the blackboard. During the exercise sessions more exchange with the students will take place, especially in relation to the solution of exercises. Weekly office hours will be devoted to clarifications and to answer possible question that may arise from the lectures. Attendance is strongly recommended.
INSIEMISTICA E FUNZIONI. Concetto di insieme, appartenenza, sottoinsiemi, uguaglianza insiemistica, unione, intersezione e differenza. Numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà fondamentali. Assioma di completezza dei numeri reali. Funzioni iniettive, surgettive, invertibili, immagine e grafico di una funzione.
POTENZE, ESPONENZIALI E LOGARITMI. Potenze con esponente intero. Potenze con esponente razionale. Proprietà algebriche delle potenze. Disuguaglianze tra potenze. Esponenziali: proprietà caratterizzanti e grafici. Funzione logaritmo: proprietà caratterizzanti, grafici e formula del cambio di base.
SPECIALI CLASSI DI FUNZIONI. Funzioni pari, dispari, periodiche, monotone. Altri tipi di funzioni: lineari, trigonometriche, inverse di funzioni trigonometriche, polinomiali, funzione valore assoluto.
SOTTOINSIEMI DEI REALI E SUCCESSIONI. Insiemi limitati inferiormente, limitati superiormente, limitati. Massimo e minimo di un insieme. Maggioranti e minoranti. Estremo inferiore e superiore. Limite di una successione di numeri reali. Teoremi di unicità del limite, di permanenza del segno, del confronto, dei carabinieri, del limite della somma, del prodotto, del quoziente. Forme indeterminate. Successioni monotone: esistenza del limite. Successioni limitate e sottosuccessioni.
LIMITI E FUNZIONI CONTINUE. Definizione di limite di una funzione. Teoremi sui limiti di funzione analoghi a quelli già menzionati per le successioni. Limiti notevoli di funzioni. Funzioni continue e relativi teoremi. Continuità delle funzioni elementari. Teoremi di esistenza degli zeri, di Weierstrass e dei valori intermedi. Immagine di una funzione continua su un intervallo.
CALCOLO DIFFERENZIALE DI UNA VARIABILE. Derivata di una funzione. Derivata della somma, del prodotto, del quoziente, della composizione. Calcolo della derivata di funzioni elementari. Legami tra continuità e derivabilità. Derivata della funzione inversa e suo calcolo per funzioni elementari. Teoremi di Rolle e di Lagrange. Massimi e minimi. Relazione tra il segno della derivata e la monotonia. Teorema di de l'Hôpital. Studio di funzioni di una variabile.
CALCOLO INTEGRALE IN UNA VARIABILE. Integrale di Riemann e significato geometrico. Integrabilità delle funzioni continue e proprietà dell'integrale definito. Funzione integrale. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive di una funzione e loro relazione con gli integrali definiti. Calcoli di primitive, formula di integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali e cenni sugli integrali impropri.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE. Equazioni differenziali a variabili separabili e lineari a coefficienti costanti. Equazione caratteristica. Integrale generale. Il problema di Cauchy.
P. Marcellini – C. Sbordone: ELEMENTI DI CALCOLO – Liguori Editore – 2004
P. Marcellini – C. Sbordone: ESERCITAZIONI DI MATEMATICA – Vol. I parte 1, Liguori Editore – 2013
P. Marcellini – C. Sbordone: ESERCITAZIONI DI MATEMATICA – Vol. I parte 2, Liguori Editore – 2014, 2017
C. Giorgi – A. Morro: INTRODUZIONE ALLA MATEMATICA – Maggioli Editore – 2012 – Collana: Università
Bibliography is contained in the program of the course.
L'esame consiste in una test scritto di 60 minuti ed una prova orale sugli argomenti del corso. In caso di test scritto per via telematica, il canale del test sarà disponibile sulla piattaforma di ateneo per gli esami. In questo caso la prova scritta seguirà le modalita' riportate alla pagina elearning del corso.
The final exam consists of two parts. The first one is a written test of one hour. The second part is an oral examination on the topics of the course.
