ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| ANALISI MATEMATICA | MAT/05 | LEZIONI | 96 |
|
Questo corso è dedicato allo studio dell'analisi matematica: limiti, continuità, calcolo differenziale e integrazione, successioni serie e calcolo differenziale in più variabili.
This course is devoted to the study of calculus: limits, continuity, derivation and integration, sequences, series and differential calculus for functions of several variables.
Metodi:
Methods:
Esame qualitativo e quantitativo del comportamento di una funzione di variabile reale.
Calcolo di limiti, derivate e integrali. Convergenza di serie numeriche e integrali impropri. Massimi e minimi per funzioni di più variabili.
Qualitative and quantitative evaluation of the behaviour of a real function.
Calculus of limits, derivatives and integrals. Convergence of series and generalized integrals. Extreme values for function of several variables.
Prove di autovalutazione.
Self evaluation tests.
Lo studente imparerà a capire quali sono gli strumenti necessari a risolvere un problema di Analisi Matematica.
The student will learn which tools are appropriate to solve a problem related to mathematical analysis.
Nelle esercitazioni verranno analizzate le capacità degli studenti nell'affrontare un problema matematico.
In practical classes the students will show their competence facing a mathematical problem.
Nozioni di calcolo di base: disuguaglianze, trigonometria, funzione esponenziale, logaritmi, polinomi.
Basic calculus: inequalities, trigonometry, exponential, logarithm, polynomial.
Lezioni frontali.
Attività di apprendimento:
Frequenza consigliata.
Metodi di insegnamento:
Delivery: face to face
Learning activities:
Attendance: Advised
Teaching methods:
Invertibiltà di una funzione: dominio, immagine, grafico. Funzioni pari, dispari, periodiche e monotone. Assioma di completezza dei numeri reali. Insiemi limitati. Massimo e minimo di un insieme. Estremi superiore e inferiore. Valore assoluto e disuguaglianza triangolare.
Continuità. Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Continuità della funzione inversa.
Limiti. Punti di accumulazione e punti interni. Limiti da sinistra e da destra. Realzione fra continuità e limite. Unicità del limite. Teorema dei Carabinieri. Limite della funzione inversa. Teorema sulla permanenza del segno. Limite della composizione di funzioni. Limite di una funzione monotona. Infinitesimi e infiniti. Massimo e minimo di funzioni definite su insiemi non limitati. Asintoti.
Calcolo differenziale. Derivata. Derivate destra e snistra. Relazione fra derivabilità e continuità. Retta tangente al grafico. Derivate di ordine superiore al primo. Derivata della funzione inversa e della composizione di funzioni. Monotonia e segno della derivata. Punti di massimi o di minimo locali. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange. Segno della derivata seconda nei punti di massimo o minimo locali. teorema di De L'Hôpital. Formula di Taylor. Polinomi di Taylor delle funzioni elementari. Convessità. Punti angolosi e di cuspide. Grafico qualitativo di una funzione.
Successioni. Limite di una successione. Sotto-successioni. Teorema dei Carabinieri. Esistenza del limite e limitatezza. Successioni divergenti. Composizione tra successioni e funzioni. Criteri del rapporto e della radice. Il fattoriale.
Calcolo integrale. L'integrale di Riemann. Integrabilità delle funzioni generalmente continue. Linearità dell'integrale. Additività rispetto all'intervallo di integrazione. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali con estremi di integrazione variabili. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrale delle funzioni razionali.
Integrali su domini di integrazione non limitati e di funzioni non limitate nell'intorno di un punto. Serie numeriche.
Funzioni di più variabili. Dominio, grafico e curve di livello. Limiti e continuità. Derivate parziali, differenziale e gradiente. Punti stazionari. Derivate seconde, matrice Hessiana. Massimi e minimi locali interni. Massimi e minimi su domini limitati e chiusi. Moltiplicatori di Lagrange.
Invertibility of a function: domain, image, graph. Even, odd, periodic and monotone functions. Completeness axiom for the real numbers. Bounded sets. Maximum and minimum of a set. Least upper bound and greatest lower bound of a set. Absolute value and triangle inequality.
Continuity. The intermediate value theorem. The extreme value theorem. Continuity of the inverse function.
Limits. Cluster points and interior points. Right-hand and left-hand limits. Connection between continuity and limit. Uniquenes of the limit. The squeeze theorem. Limit of the inverse of a function. Sign of a function and sign of its limit. Limit of the composition of functions. Limit and monotone functions. Infintesimal and infinite. Maximum and minimum for functions defined on a unboundet set. Asymptotes.
Differential calculus. Derivative. Right-hand and left-hand derivatives. Connection between differentiability and continuity. Tangent to a graph. Higher derivatives. Derivative of the inverse function and of the composition of functions. Monotonicity and sign of the derivative. Local extremals of a function. Fermat, Rolle and Lagrange theorems. Second derivative and extremals. De L'Hôpital theorem. Taylor formula. Taylor polinomials of elementary functions. Convexity. Cusp and vertex points. Qualitative graph of a function.
Sequences. Limit of a sequence. Subsequences. The squeeze theorem. Limit existence and boundedness. Diverging sequences. Composition between sequences and functions. Ratio and root criteria. The factorial.
Integral calculus. The Riemann integral. Integrability of piecewise continuous functions. Linearity of the integral. Additivity with respect to the integration inteval. Mean value theorem. Potential of a continuous function. Integrals with endpoints depending on a parameter. Integration by parts and by change of variable. Integral of a rational function.
Generalized integrals on unbouded domains and of unbouded functions. Numerical series.
Functions of several variables. Domain, graph and level curves. Limits and continuity. Partial derivatives, differential and gradient. Critical points. Second order derivatives, Hessian matrix. Local extremals in internal points. Extreme values on closed and bounded domains. Lagrange multipliers.
ACERBI E., BUTTAZZO G.: Analisi matematica ABC. 1-Funzioni di una variabile, Pitagora Editrice, Bologna
(2003)
BUTTAZZO G., GAMBINI G., SANTI E.: Esercizi di Analisi Matematica I, Pitagora Editrice, Bologna (1991).
AMAR M., BERSANI A.M.: Analisi Matematica 1 Esercizi e richiami di teoria, Edizioni LaDotta, Bologna (2012).
ACERBI E., BUTTAZZO G.: Analisi matematica ABC. 1-Funzioni di una variabile, Pitagora Editrice, Bologna
(2003)
BUTTAZZO G., GAMBINI G., SANTI E.: Esercizi di Analisi Matematica I, Pitagora Editrice, Bologna (1991).
AMAR M., BERSANI A.M.: Analisi Matematica 1 Esercizi e richiami di teoria, Edizioni LaDotta, Bologna (2012).
L'esame è costituito da un test e da una prova orale.
Il test è composto di 5 sezioni, ognuna su uno degli argomenti principali del corso: studio di funzione, successioni, integrali, serie e calcolo differenziale in più variabili.
Ogni sezione ha 2 domande ciascuna con 4 possibili risposte, una sola delle quali è esatta. Ogni risposta esatta vale un punto, quelle errate o mancanti valgono zero. Il tempo per sostenere il test sarà di 60 minuti.
Il test deve essere svolto senza l’ausilio di strumenti di calcolo, di testi o appunti e senza comunicare con altre persone.
Il punteggio minimo per poter affrontare l’orale è di 1 punto in ogni sezione del test.
L’esame orale consisterà nel risolvere alcuni esercizi ed esporre una definizione o un enunciato di teorema (senza dimostrazione). Con un orale di questo tipo, il voto solitamente non supera il 24. Al termine, lo studente potrà decidere di accettare il voto proposto dalla commissione e concludere l’esame oppure di proseguire con un orale completo dove deve mostrare di conoscere perfettamente le definizioni e i teoremi in programma, le relative dimostrazioni (quelle che sono state svolte nel corso) e saper utilizzare tali teoremi per affrontare un problema di tipo teorico. In questo caso non ci sono limiti di voto, né superiori né inferiori. Tale prolungamento di orale potrà essere svolto il giorno stesso o programmato per un giorno successivo.
The exam consists of a test and an oral exam.
The test consists of 5 sections, each on one of the main topics of the course: function study, sequences, integrals, series and differential calculus in several variables.
Each section has 2 questions each with 4 possible answers, only one of which is correct. Each correct answer is worth one point, wrong or missing ones are worth zero. The time to take the test will be 60 minutes.
The test must be carried out without the aid of calculation tools, texts or notes and without communicating with other people.
The minimum score to be able to take the oral exam is 1 point in each section of the test.
The oral exam will consist of solving some exercises and presenting a definition or a theorem statement (without proof). With an oral of this type, the grade usually does not exceed 24. At the end, the student can decide to accept the grade proposed by the commission and conclude the exam or to continue with a complete oral where he must show that he perfectly knows the definitions and theorems in program, the relative proofs (those that have been developed in the course) and knowing how to use these theorems to tackle a theoretical problem. In this case there are no limits on the grade, neither higher nor lower. This oral extension can be held on the same day or scheduled for a subsequent day.
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