ECTS - University of Pisa
Fondamenti di calcolo vettoriale (geometrico e astratto) come si richiede in tutta la Matematica moderna.
Students are expected to acquire: some knowledge of the basic theory of vector spaces, linear transformations, scalar products; manipulation abilities with the main algorithms in linear algebra; some geometric insight and geometric applications.
esame scritto e orale, prove in itinere.
In the oral exam, the student will be assessed on his/her demonstrated ability to discuss the main course contents using the appropriate terminology. In the written exam (3 hours), the student must solve/answer a list of questions/problems by an appropriate use of the tools learned in the course.
Methods:
tipica del ragionamento matematico: in particolare, capacita' di astrazione riconoscendo strutture simili in oggetti apparentemente diversi.
domande e interventi in aula.
non rilevante per il tipo di corso
vedi campo precedente
capacita' di ragionamento e deduzione logica: puo' essere d'aiuto aver studiato Geometria euclidea e geometria analitica nelle scuole superiori.
corsi frontali, si usano testi e delle note (reperibili on line) scritte dal docente.
Delivery: face to face
Attendance: Advised
Learning activities:
Teaching methods:
- Vettori geometrici: somma, prodotto esterno, prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto e scrittura in coordinate; applicazioni (distanze, angoli, aree, volumi); equazioni cartesiane e parametriche di rette e piani nello spazio.
- Assiomi di campo e di spazio vettoriale. Numeri complessi. Sottospazi, combinazioni lineari, span. Lineare indipendenza. Caratterizzazione delle basi. Ogni spazio vettoriale ha base (dimostrazione nel caso finitamente generato). Algoritmo di scambio, dimensione di uno spazio vettoriale. Somme e somme dirette. Formula di Grassmann.
- Teoria dei sistemi lineari (teorema di Roche'-Capelli, algoritmo di Gauss, rango, rango per righe=rango per colonne).
- Applicazioni lineari: nucleo, immagine, formula delle dimensioni, matrice associata. Composizione e prodotto righe per colonne. Formula del cambiamento di base (caso generale e caso della similitudine per endomorfismi). SD equivalenza. Invarianti per similitudine.
- Determinante: assiomi, gruppo simmetrico (segno di una permutazione), formula del determinante, sviluppo per righe e per colonne, matrice inversa. Teorema di Binet.
- Autovalori e autovettori: polinomio caratteristico, molteplicita' algebrica e geometrica, caso reale, diagonalizzabilita', criteri di diagonalizzabilita'. Indipendenza di autovettori relativi ad autovalori distinti. Polinomio minimo, caso diagonalizzabile, teorema di Hamilton-Cayley. Sottospazi invarianti, caso diagonalizzabile, criterio di diagonalizzabilita' simultanea. Triangolarizzabilita'.
- Prodotti scalari: matrice associata a un prodotto scalare. Formula di cambiamento di base (congruenza). Sottospazio radicale. Formula della dimensione dell'ortogonale di un sottospazio. Teorema di Lagrange e Gram-Schmidt. Teorema di Sylvester reale e complesso, segnatura. Vettori e sottospazi isotropi. Prodotti hermitiani. Operatori simmetrici ed hermitiani. Operatori ortogonali ed unitari. Teorema spettrale. Triangolarizzazione con matrici unitarie.
Geometric vectors, coordinates, lines and planes in the 3-space and their equations. Canonical scalar product and vector product. Groups, fields, vector spaces; linear independence, bases, dimension. Linear transformations; matrices associated to a linear transformation; change of bases.Invariant spaces, eigenvalues and eigenvectors, diagonalizable transformations; triangularizable transformations. Bilinear forms, scalar products over the real and complex fields (related theorems). Symmetric transformations (in an Euclidean space), spectral theorem. Isometries.
Note scritte del docente.
Testi di consultazione: Lang, Algebra lineare.
Recommended reading includes the following works: S. Lang, "Linear Algebra"; S. Abeasis, "Algebra lineare e Geometria"; C. Ciliberto, "Algebra lineare" Further bibliography will be indicated.
non ci sono variazioni
Scritto e orale.
