ECTS - University of Pisa
| Modules | Area | Type | Hours | Teacher(s) | |
| SEGNALI ALEATORI | ING-INF/03 | LEZIONI | 60 |
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Il corso fornisce le nozioni fondamentali di teoria della probabilità, variabili aleatorie e segnali stocastici, e gli strumenti matematici utilizzati per l’analisi del loro filtraggio, ovvero le basi della modellistica statistica, trasversale nelle ingegnerie e nella fisica e di uso anche in ingegneria elettronica. Tra gli argomenti del corso ci sono i concetti di probabilità, la caratterizzazione statistica completa delle variabili aleatorie mediante la loro funzione di distribuzione o mediante la densità di probabilità, gli indici statistici quali il valor medio e la varianza, lo studio di trasformazioni di variabili aleatorie, i sistemi di variabili ovvero vettori aleatori, la funzione di autocorrelazione e la densità spettrale di potenza di segnali aleatori a tempo continuo, ed il loro filtraggio tramite sistemi lineari tempo-invarianti.
This course provides a foundation in the theory and applications of probability, random variables and stochastic processes, and an understanding of the mathematical techniques relating to random processes in the areas of signal filtering. Topics include the axioms of probability, random variables, and distribution functions; mean value and variance of discrete/continuous random variables; functions of random variables; random signals; linear filtering, power spectral density and autocorrelation function of random signals.
La verifica delle conoscenze sarà effettuata coinvolgendo gli studenti con delle domande durante lo svolgimento delle lezioni, e durante i ricevimenti individuali.
Knowledge assessment will be carried out involving the students with questions during the lectures, and during individual tutoring sessions.
Alla fine del corso, gli studenti dovrebbero:
aver compreso i concetti di esperimento aleatorio, variabile aleatoria, distribuzione di probabilità, il significato di indici statistici quali valor medio e varianza;
aver compreso il concetto di indipendenza statistica di eventi e di variabili aleatorie, e quello di condizionamento;
aver compreso il concetto di correlazione tra variabili aleatorie, di covarianza e di coefficiente di correlazione;
aver compreso il concetto di segnale aleatorio, e la sua descrizione in potenza mediante valor medio e funzione di autocorrelazione (nel dominio del tempo) o mediante densità spettrale di potenza (nel dominio della frequenza);
aver acquisito conoscenze riguardo al filtraggio di segnali aleatori (mediante sistemi a tempo continuo lineari tempo-invarianti).
By the end of the course, students are expected to:
have understood the concepts of randomness, random experiment, random variables, probability distributions, and statistical averages like mean and variance;
have understood the concept of independence of events, independence of random varables, conditioning;
have understood the concept of correlation between two random variables, and the meaning of covariance and correlation coefficient;
have understood the concept of stochastic process, its characterization through the mean value and the auto-correlation function (in the time domain) or through the power spectral density (in the frequency domain);
have developed an insight into the filtering of random signals by linear time-invariant continuos-time systems.
Le capacità acquisite dallo studente saranno verificate mediante esercizi che il docente suggerirà di svolgere agli studenti, le cui soluzioni saranno disponibili nel materiale didattico fornito, in modo da fornire agli studenti gli strumenti per giudicare il loro livello di preparazione e sensibilizzarli a seguire il corso in maniera attiva.
Skills acquired by the students will be verified through exercises that will be suggested by the lecturer for the students to solve, with solutions available in the furnished material, in order to allow students to evaluate their level of preparation and giving them the capability of attending the course in an active way.
Gli studenti potranno acquisire e sviluppare rigore metodologico e scientifico, insieme alla capacità di analizzare criticamente le soluzioni dei problemi individuando i pro e i contro dei procedimenti adottati.
Students will acquire and develop methodological and scientific rigour, and will be able to analyze critically exercise solutions highlighting pros and cons of the adopted solving procedures.
La verifica dei comportamenti degli studenti avverrà in aula durante le lezioni frontali, attraverso domande a loro rivolte su temi specifici.
The assessment of the behaviors of the students will take place in the classroom during lectures, through questions on specific topics.
Allo studente si richiedono solide basi di analisi matematica (in particolare calcolo differenziale ed integrale), conoscenze di base di algebra lineare (vettori, matrici), e familiarità con i principi dell'analisi di Fourier e del filtraggio dei segnali deterministici a tempo continuo, in particolare mediante sistemi lineari tempo-invarianti (propedeuticità: Segnali Deterministici).
The student should have a solid background in calculus (in particular, he/she must be familiar with differential and integral calculus), knowledge of the basics of linear algebra (vector, matrices, and their manipulation), familiarity with the fundamentals of Fourier analysis and continuous time signal processing.
Elementi di teoria della probabilità: esperimenti aleatori, concetto di evento, definizione di probabilità e relativi assiomi, probabilità congiunta e condizionata, teoremi della probabilità totale e di Bayes, eventi indipendenti e loro proprietà, prove ripetute.
Variabili aleatorie e vettori aleatori: definizione di variabile aleatoria, variabili aleatorie discrete continue e miste, funzione di distribuzione, densità di probabilità, e loro proprietà, valore medio e varianza di una variabile aleatoria, teorema dell'aspettazione, trasformazioni di una variabile aleatoria, variabili aleatorie notevoli (uniformi, Gaussiane, esponenziali, di Rayleigh, di Poisson, binomiali). Definizione di vettore aleatorio, densità di probabilità congiunta e marginali di una coppia di variabili aleatorie, densità di probabilità condizionata, concetti di variabili aleatorie indipendenti e correlate, trasformazioni di una coppia di variabili aleatorie, variabili aleatorie congiuntamente Gaussiane, vettori aleatori Gaussiani e loro proprietà.
Segnali aleatori: definizione di processo ovvero segnale stocastico, processi parametrici, funzioni di distribuzione e densità di probabilità di ordine N, processi stazionari in senso lato, in senso stretto, e di ordine finito, funzione valor medio e di autocorrelazione e sue proprietà, funzione di autocovarianza, densità spettrale di potenza di un processo e sue proprietà, relazione con la funzione di autocorrelazione, filtraggio lineare di un processo, cross-correlazione ingresso-uscita, processi bianchi (rumore termico) e cenni di processi Gaussiani.
Elements of probability theory: random experiments and sample space, concept of event, definition of probability and related axioms, joint probability and conditional probability, total probability theorem, Bayes theorem, independent events and their properties, repeated trials.
Random variables and random vectors: definition of random variable, discrete and continuous random variables, mixed random variables, distribution function and its properties, probability density and its properties, mean value and variance of a random variable, expectation theorem, transformation of a random variable, significant random variables (uniform, Gaussian, exponential, Rayleigh, Poisson, binomial). Definition of random vector, joint probability density of a pair of random variables, marginal probability density, correlation of a pair of random variables, transformation of a pair of random variables, Gaussian random vectors and their properties.
Random signals: definition of stochastic process, parametric processes, distribution function and probability density of order N, first and second order stationarity, wide-sense and strict-sense stationary processes, autocorrelation function and its properties , covariance function of a process, hints to Gaussian processes, power spectral density and its properties, relationship with the autocorrelation function, linear continuos-time filtering of a process, cross-correlation between the input and output processes, white processes (thermal moise).
Materiale fornito dal docente.
Testo di riferimento Teoria dei Segnali: Segnali aleatori, Verrazzani, ed. ETS Università.
Material furnished by the lecturer.
Reference books: Teoria dei Segnali: Segnali aleatori, Verrazzani, ed. ETS Università; Probability, random variables and stochastic processes, Papoulis and Pillai, McGraw-Hill Education.
L'esame è composto da una prova scritta (che dura un'ora) con esercizi sugli argomenti del corso, e da una prova orale. In generale, il voto finale è basato sul giudizio riportato nella prova scritta di ammissione all’orale e sulla qualità della prova orale. Durante la prova orale, lo studente sarà valutato sulla base della sua capacità di discutere i contenuti del corso con competenza, consapevolezza critica, e correttezza di espressione, e si potrà anche richiedere la risoluzione di problemi/esercizi scritti.
The exam is made up of one written test (1h) and one oral test. In general, the final score takes account of both the judgments of the written test (for the admission to the oral test) and of the oral test. During the written exam, the student is asked to solve exercises in order to demonstrate the ability to put into practice the basic principles of statistical signal theory illustrated throughout the course. During the oral exam, the student will be assessed on his/her ability in discussing the main course content and demonstrate his/her knowledge of the course material with competence, critical awareness and propriety of expression. During the oral test, the candidate can also be asked to solve written problems/exercises in front of the teacher.
