ECTS - University of Pisa
Risultati principali di teoria della misura; proprietà delle successioni di variabili aleatorie indipendenti; primi elementi sui processi stocastici.
Students will acquire a fair knowledge on the main ideas of probability: measure theory foundations, limit theorems, basic stochastic processes.
Prova orale su teoria ed esercizi.
Oral and written exam.
Comprensione della Probabilità e capacità di ragionamento sugli oggetti del corso.
Knowledge of Probability and ability of thinking about the topics of the course.
Ragionamento su vari elementi del corso, capacità di riprodurre enunciati, dimostrazioni e risolvere esercizi. Quest'ultima capacità sarà verificata direttamente in sede di orale oppure tramite un pre-test scritto o in via telematica.
During the exam the student must be able to demonstrate his/her knowledge of the course material, to explain correctly the topics presented during the course and to discuss thoughtfully the main ideas.
Lo studente potrà acquisire capacità di ragionamento autonomo su metodologie matematiche per fenomeni aleatori.
Students will acquire ability to think aunomously about Mathematical topics of random phenomena.
In sede di esame si richiede buona capacità di ragionamento autonomo, oltre che la riproposizione di elementi appresi.
During the exams students will be requested toshow a good level of autonomous thinking, beyond repetition of learned elements.
Gli insegnamenti di analisi e di algebra lineare del biennio, il corso “Elementi di Probabilità e Statistica”
Basic elements of Analysis and Linear Algebra of the first two years, course named “Elementi di Probabilità e Statistica”
Esame ragionato delle dispense del corso e degli esercizi proposti durante lo svolgimento del corso.
Delivery: face to face
Learning activities:
Attendance: Advised
Teaching methods:
Costruzione di una probabilità e dell'integrale rispetto a una probabilità.
Indipendenza di variabili aleatorie, lemmi di Borel-Cantelli e Legge 0-1 di Kolmogorov.
Convergenza di variabili aleatorie e convergenza di Probabilità: criterio di Prohorov.
Le funzioni caratteristiche e legame con la convergenza in Legge.
Teoremi limite: Leggi dei Grandi Numeri e Teoremi Limite Centrale.
Speranza condizionale e sue proprietà, nuclei Markoviani.
Primi rudimenti di teoria dei Processi Stocastici: il processo di Wiener ed il processo di Poisson.
Measure theory, integration, random variables, expected value, independence, 0-1 laws, Borel-Cantelli arguments. Laws, characteristic functions, convergence of random variables, tightness, Gaussian laws. Weak law of large numbers, strong law of large numebrs, central limit theorem, law of rare events. Conditional expectation, stochastic processes, Brownian motion
Dispense del corso e fogli di esercizi.
The course lectures cover all of the material and are taken from the following works that are also recommended readings: * Pratelli, Un corso di calcolo delle probabilità. * Durrett, Probability theory and examples, 1991 * Karatzas, Shreve, Brownian motion and stochastic calculus, 1991. * Moerters, Peres, Brownian motion, 2010.
Prova orale e pre-test (scritto o modalità telematica).
