ECTS - University of Pisa
Scheda programma d'esame
REAL ANALYSIS
VALENTINO MAGNANI
Academic year2020/21
CourseMATHEMATICS
Code740AA
Credits6
PeriodSemester 2
LanguageItalian

ModulesAreaTypeHoursTeacher(s)
ANALISI REALEMAT/05LEZIONI48
VALENTINO MAGNANI unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze

Conoscenza degli elementi fondamentali di teoria della misura e teoria dell'integrazione in spazi mensurali, comprendendo l'integrale di Lebesgue ed il confronto con la teoria di Riemann. Studio delle misure boreliane, di Radon, di Carathéodory e di Hausdorff. Conoscenza dei teoremi di Lusin, e di Egorov. Teoremi di Fatou, di Beppo Levi e di Lebesgue. Misure prodotto, teorema di Tonelli e di Fubini su spazi mensurali. Teorema di rappresentazione di Riesz, spazi di Lebesgue astratti, loro proprietà basilari, misure a valori in uno spazio di Banach, cenni all'integrale di Bochner, misure assolutamente continue rispetto ad un'altra misura e teorema di Radon-Nikodym. Teoremi di ricoprimento di Vitali, differenziabilità quasi ovunque delle funzioni monotone, funzioni assolutamente continue e a variazione limitata in spazi metrici, caratterizzazione delle funzioni assolutamente continue tramite il teorema fondamentale del calcolo.
Knowledge

Knowledge of basic facts from measure theory and the theory of integration in abstract measure spaces. Lebesgue integral in Euclidean space and comparison with the Riemann integral. Study of Borel, Radon, Carathéodory and Hausdorff measures. Knowledge of Lusin and Egorov theorems. Fatou, Beppo Levi and Lebesgue theorems. Product measures, Tonelli and Fubini theorems in abstract measure spaces. Riesz representation theorem in locally compact spaces, Lebesgue spaces and their basic properties, Banach valued measures, basic facts on the Bochner integral, absolute continuity of the integral, Radon-Nikodym theorem. Vitali covering theorems, almost everywhere differentiability of monotone functions, absolutely continuous functions and functions of bounded variations in metric spaces, characterization of absolutely continuous functions by the Fundamental Theorem of Calculus. 
Modalità di verifica delle conoscenze

La verifica dell'apprendimento avviene tramite un'unica prova orale che verte su tutto il programma d'esame. Qui sono richiesti tutti i risultati del corso, la capacità di saperli esporre e dimostrare, affrontando eventuali esercizi.
Assessment criteria of knowledge

The student's knowledge of all course content is assessed by an oral exam. Clarity of exposition and knowledge of statements and their proofs are taken into special account. The ability to tackle possible exercises or applications will be also considered.

 
Capacità

Lo studente avrà acquisito la padronanza dei principali risultati di Analisi Reale, con il rigore necessario per un loro corretto utilizzo nei diversi campi della Matematica, quali l'Analisi Funzionale, la Teoria delle Probabilità e la Teoria Geometrica della Misura.
Skills

The student is expected to master the main results of Real Analysis. The rigorous knowledge of the course contents provides the student with a solid background, that may be also useful for related fields, like Functional Analysis, Probability and Geometric Measure Theory.
Modalità di verifica delle capacità

Tutti i risultati del corso sono sviluppati in modo autonomo, ovvero sono costruiti partendo dai fondamenti. Quindi la verifica delle capacità richiede che lo studente sia in grado di ricostruire il risultato più complesso partendo dalle basi. La capacità di risolvere eventuali esercizi rafforzerà tale verifica.
Assessment criteria of skills

All results of the course are essentially self-contained. Therefore the assessment of student skills considers at which extent the student is able to construct an involved result from its basic elements. The ability to solve problems or exercises will be also evaluated.
Comportamenti

Lo studente sarà in grado di continuare, anche autonomamente, il percorso formativo nel campo dell'Analisi Reale, incentrandosi sugli sviluppi più avanzati. 
Behaviors

The student will be able to expand his/her knowledge of Real Analysis, reaching the more advanced results in the field.
Modalità di verifica dei comportamenti

La verifica della comprensione e delle applicazioni dell'Analisi Reale avviene nella valutazione della corretta esposizione dei teoremi e delle loro dimostrazioni.

 

 
Assessment criteria of behaviors

The oram exam precisely verifies the student's understanding of theorems and proofs in Real Analysis. This is indeed the basis for further developments and applications.
Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Anche se il corso si costruisce con concetti elementari, come quelli di funzione e di insieme, la conoscenza dei corsi di Analisi Matematica del primo e del secondo anno sono importanti, soprattutto in relazione agli esercizi e le applicazioni. Sono richieste anche la conoscenza dei primi risultati su spazi vettoriali e operatore lineari.
Prerequisites

Although the course is built from elementary concepts, such as those of function and set, the main results of Mathematical Analysis of the first and the second year are strongly recommended, especially in relation to exercises and applications. The knowledge of basic results on vector spaces and linear operators are also expected to be known.
Indicazioni metodologiche

Il corso è costituito da lezioni frontali alla lavagna. Sebbene le lezioni in sostanza presentino tutto il programma del corso, lo studente dovrà integrare il programma con uno studio individuale che comprende anche gli esercizi dati a lezione e l'eventuale ausilio dei testi consigliati. La frequenza è fortemente consigliata.
Teaching methods

The course develops through lectures at the blackboard. Although the lectures aim to present the whole course material, the student is expected to cover the full program also including the exercises presented during the lectures and the possible use of the reference books. Attending all classes is strongly recommended.
Programma (contenuti dell'insegnamento)
  1. Misure e misure esterne. Spazi mensurali, misure esterne e proprietà basilari, funzioni misurabili e loro approssimazione, misura di Lebesgue, insiemi non misurabili, algebre, anelli e semianelli di insiemi, estensione di Carathéodory-Hahn.
  2. Teoria dell’integrazione astratta. Integrale di Lebesgue su uno spazio mensurale, teoremi di Beppo Levi, Fatou e Lebesgue, nozione di integrale su spazio mensurale tramite opportune somme superiori e inferiori, derivazione di integrali con parametro, differenze tra integrazione secondo Lebesgue e secondo Riemann, caratterizzazione delle funzioni integrabili secondo Riemann.
  3. Spazi di Lebesgue. Proprietà basilari degli spazi delle funzioni p-sommabili rispetto una misura µ e loro completezza, con 1 ≤ p ≤ ∞, convergenza nella norma dello spazio delle funzioni p-sommabili, convergenza puntuale q.o., in misura e relative implicazioni. Disuguaglianza di Jensen.
  4. Operazioni sulle misure. Misure con segno, teorema di Hahn e decomposizione di Jordan per misure con segno, misure vettoriali, misure a valori in uno spazio di Banach, integrale di Bochner, assoluta continuità dell’integrale, teorema di Radon-Nikodym e perdita di validità per misure con valori in uno spazio di Banach. Rappresentazione del duale dello spazio delle funzioni p-sommabili, con 1 ≤ p < +∞.
  5. Misure e topologia. Misure boreliane, approssimazione di boreliani con aperti, chiusi e compatti, criterio di Carathéodory per misure boreliane, misure di Radon su spazi topologici, teorema di Lusin e densità delle funzioni continue nello spazio delle funzioni p-sommabili, teorema di rappresentazione di Riesz.
  6. Misure prodotto. Prodotto di spazi mensurali, teoremi di Fubini e di Tonelli su spazi mensurali e controesempi ad ipotesi più deboli.
  7. Funzioni assolutamente continue e a variazione limitata. Teorema di Vitali, differenziabilità quasi ovunque delle funzioni monotone, funzioni a variazione limitata e funzione di Cantor. Funzioni assolutamente continue e loro caratterizzazione tramite il teorema fondamentale del calcolo.
  8. Materiale opzionale. Misura e dimensione di Hausdorff, calcolo della dimensione di Hausdorff di frattali, mappe holderiane e misura di Hausdorff, uguaglianza tra misura di Hausdorff e misura di Lebesgue, formula dell’area nello spazio euclideo.

 Tutti gli argomenti del programma sono da intendersi con relative dimostrazioni.
Syllabus
  1. Measures and outer measures. Measurable spaces, outer measures and their basic properties, measurable functions and their approximation, Lebesgue measure, nonmeasurable sets, algebras, rings and semirings of sets, Carathéodory-Hahn’s extension.
  2. Integration over measure spaces. Lebesgue integral over a measure space, monotone convergence, Fatou and Lebesgue’s theorems, integral over a measure space through upper and lower sums, differentiation of integrals with respect to a parameter, main differences between Lebesgue and Riemann integral, characterization of Riemann integrable functions through Lebesgue’s integration theory.
  3. Lebesgue spaces. Basic properties of p-summable functions with respect to a measure and their Banach space structure when 1 ≤ p ≤ ∞, strong convergence with respect to the p-norm, pointwise convergence, a.e. convergence, convergence in measure and relations among the different types of convergence. Jensen inequality.
  4. Operations on measures. Signed measures, Hahn’s theorem and Jordan decomposition theorem for signed measures, vector measures, Banach space valued measures and Bochner integral, absolute continuity of the integral, Radon-Nikodym theorem and its failure for Banach space valued measures. Representation of the dual of the space of p-integrable functions, with 1 ≤ p < +∞.
  5. Measures and topology. Borel measures, approximation of Borel sets with open, closed and compacts sets, Carathéodory’s criterion for Borel measures, Radon measures on topological spaces, Lusin theorem and density of continuous functions in the space of p-summable functions. Riesz’s representation theorem.
  6. Product measures. Product of measurable spaces, Fubini’s and Tonelli’s theorems over measurable spaces and counterexamples to more general assumptions..
  7. Absolutely continuous functions and functions of bounded variation. Vitali’s covering theorem, a.e. differentiability of monotone functions, function of bounded variation and Cantor’s function. Absolutely continuous functions and their characterization by the validity of the Fundamental Theorem of Calculus.
  8. Optional materials. Hausdorff measure, Hausdorff dimension of fractals, relationship between holder continuous functions and Hausdorff measure, equality between Hausdorff measure and Lebesgue measure, area formula in Euclidean space.

 The syllabus also includes all the proofs of the previous list of arguments.
Bibliografia e materiale didattico

[1] L.Ambrosio, G.Da Prato, A.Mennucci, Introduction to Measure Theory and Integration, Edizioni della Normale, 2011.

[2] L.Ambrosio, N.Fusco, D.Pallara, Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems, Oxford University Press, New York, 2000.

[3] L.Ambrosio, P.Tilli, Topics on analysis in metric spaces, Oxford University Press, Oxford, 2004.

[4] Y.Benyamini, J.Lindenstrauss, Geometric Nonlinear Functional Analysis, American Mathematical Society, 2000.

[5] Y.D.Burago, V.A.Zalgaller, Geometric inequalities, Grundlehren Math. Springer, Berlin, 1988.

[6] S.B.Chae, Lebesgue integration, Collana “Universitext”, Springer 1995.

[7] D.L.Cohn, Measure Theory, Birkhäuser, 1980.

[8] L.C.Evans and R.F.Gariepy, Measure theory and fine properties of functions, revised edition. Textbooks in Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 2015.

[9] H.Federer, Geometric measure theory, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag New York Inc., New York, 1969.

[10] K.Falconer, Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications, Wiley, 2003.

[11] G.B.Folland, Real Analysis. Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons, 1999.

[12] I.P.Natanson, Theory of functions of a real variable, New York, 1964.

[13] H.L.Royden and P.M.Fitzpatrick, Real Analysis, Pearson Education, 2010.
Bibliography

[1] L.Ambrosio, G.Da Prato, A.Mennucci, Introduction to Measure Theory and Integration, Edizioni della Normale, 2011.

[2] L.Ambrosio, N.Fusco, D.Pallara, Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems, Oxford University Press, New York, 2000.

[3] L.Ambrosio, P.Tilli, Topics on analysis in metric spaces, Oxford University Press, Oxford, 2004.

[4] Y.Benyamini, J.Lindenstrauss, Geometric Nonlinear Functional Analysis, American Mathematical Society, 2000.

[5] Y.D.Burago, V.A.Zalgaller, Geometric inequalities, Grundlehren Math. Springer, Berlin, 1988.

[6] S.B.Chae, Lebesgue integration, Collana “Universitext”, Springer 1995.

[7] D.L.Cohn, Measure Theory, Birkhäuser, 1980.

[8] L.C.Evans and R.F.Gariepy, Measure theory and fine properties of functions, revised edition. Textbooks in Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 2015.

[9] H.Federer, Geometric measure theory, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag New York Inc., New York, 1969.

[10] K.Falconer, Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications, Wiley, 2003.

[11] G.B.Folland, Real Analysis. Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons, 1999.

[12] I.P.Natanson, Theory of functions of a real variable, New York, 1964.

[13] H.L.Royden and P.M.Fitzpatrick, Real Analysis, Pearson Education, 2010.
Modalità d'esame

L'esame prevede una prova orale su tutto il programma d'esame. La prova richiede la precisa conoscenza dei risultati e dei teoremi del corso assieme alle loro dimostrazioni, ove siano previste. Potrà essere richiesta opzionalmente anche la risoluzione di esercizi.
Assessment methods

The final evaluation is by oral exam, that focusses on the whole course content. The precise knowledge of results and proofs of the course will be carefully assessed. The solution of exercises or problems can be optionally requested.
Notes

The web page of the class is in Italian.
Updated: 20/09/2020 01:38