ECTS - University of Pisa
Nozioni di Geometria Analitica nel piano e nello spazio.
Spazi vettoriali ed applicazioni lineari
L'algebra delle matrici
Determinanti
Autovalori ed autovettori, criteri di diagonalizzabilita`.
Il teorema spettrale (per il prodotto scalare euclideo in R^n).
Analytic geometry in the plane and 3-space
Vector spaces and linear applications
The algebra of square matrices
Determinant
Eighenvalues and eighenvectors, diagonalization criteria
Esame orale
Oral examination
Sapersi muovere con le matrici e i sistemi lineari. Riconoscere dipendenza e indipendenza lineare.
Saper dimostrare teoremi semplici ed avere consapevolezza se l'argomento usato prova o non prova.
Manage matrices and linear systems,. Detect linear dependence and independence.
Be able to prove theorems recognising whether an argument gives a proof or not.
Esame scritto e orale
Written and oral examination.
Le quattro operazioni.
The four elementary operations
Geometria analitica
Rette e piani nello spazio a tre dimensioni e loro posizioni reciproche
Ortogonalit` a e parallelismo Proiezioni ortogonali.
Prodotto scalare e sua biinearita`. Estensione del prodotto scalare a R^n.
Sistemi lineari
Matrice dei coefficienti.
Definizione di soluzione.
La matrice A come applicazione di R^q in R^p che associa a X in R^q il vettore di R^p che `e combinazione lineare delle colonne di A con coefficienti le coordinate di X.
Le soluzioni come intersezione di iperpiani.
Operazioni di Gauss. Esse non cambiano l' insieme delle soluzioni.
Riduzione a scala con il metodo di Gauss.
Variabili libere e pivots. Esempi.
Spazi vettoriali
Struttura di R^n ,
Spazi vettoriali, esempi: R[x], matrici, funzioni da A a R , Funzioni continue sull'intervallo [0, 1].
Sottospazi. Soluzioni di un sistema omogeneo come sottospazio di R^q .
Combinazioni lineari, dipendenza e indipendenza lineare.
W e` sottospazio se e solo se `e chiuso per combinazioni lineari.
Span di una famiglia di vettori (anche infinita).
Base di uno spazio vettoriale.
Una base e` un insieme massimale di vettori indipendenti e un insieme minimale di generatori.
Teorema del completamento.
Teorema: ogni spazio vettoriale ha una base. Prova solo per spazi V =span{v1 , ..., vk }.
Base = vettori indipendenti tra i vettori {v1 , ..., vk }.
Sottospazi, calcolo di basi, in particolare dello spazio di soluzioni di un sistema omogeneo.
Intersezione e somma di sottospazi.
Teorema di Grassman,
Somme dirette, supplementari, esempio un sottospazio ed il suo ortogonale.
Azione di una matrice a p righe e q colonne su R^q .
Applicazioni lineari.
Le applicazioni lineari di R^q in R^p sono matrici a p righe e q colonne.
Dati valori in W a una base di V , c'e` un'unica applicazione lineare di V in W con quei valori.
Nucleo e Immagine di una applicazione lineare.
Struttura lineare dell`insieme di applicazioni lineari tra V e W .
Teorema della dimensione. Rango di un'applicazione lineare.
A e la sua trasposta hanno lo stesso rango.
Isomorfismo tra L(V, W ) e lo spazio delle matrici di giusta stazza.
Applicazione ai sistemi lineari: le equazioni sono elementi di L(Rq , R) e le operazioni di Gauss calcolano una base dello span di questi elementi.
Matrice associata a Id : V - > V .
Prodotto di matrici righe per colonne corrisponde alla composizione.
Regole del prodotto (distributivita` a destra e a sinistra, moltiplicazione per un numero).
Unicita` del`inversa di una matrice quadrata di rango massimo.
Calcolo dell'inversa con il metodo di Gauss.
Inversa di un prodotto, trasposta di un prodotto. Inversa della trasposta di una matrice invertibile.
Teorema: nello spazio delle matrici quadrate n x n le matrici non invertibili sono divisori di zero a destra e a sinistra.
Determinanti
Determinanti nel caso 2 x2.
Proprieta` richieste: linearita` sulle righe, annullarsi se due righe sono uguali, valore 1 su I.
Conseguenze delle proprieta` richieste: valore obbligato su matrici diagonali, su matrici triangolari superiori e quindi sulle matrici a scala.
Unicita` del determinante.
Esistenza (con la regola di Laplace per colonna).
Si puo` fare per righe. d(A) = d(A^T ).
Teorema di Binet.
Endomorfismi di uno spazio vettoriale
Classe di similitudine di una matrice quadrata.
Il centro di GL(n, R).
Autovettori ed autovalori.
Polinomio caratteristico e sua invarianza per similitudine.
Traccia e determinante sono invarianti per similitudine.
Molteplicita` algebrica e molteplicita` geometrica di un autovalore. Criterio di diagonalizzazione.
Il polinomio minimo. Criterio di diagonalizzazione tramite polinomio minimo.
Triangolabilita`. Matrici nilpotenti.
Prodotto scalare e matrici
Matrici ortogonali, caratterizzazione. Il caso n = 2 e n = 3.
Tutti gli autovalori (reali e complessi) di una matrice ortogonale hanno modulo 1.
Decomposizione di Rn in somma diretta ortogonale di spazi invarianti per una applicazione ortogonale.
Matrici simmetriche.
Teorema spettrale: A `e simmetrica se e solo se in Rn c'e` una base ortonormale di autovettori per A.
Analytic geometry
Lines and planes in 3-space and possible positions.
Orthogonality and parallelism. Orthogonal projections.
Scalar product. It is bilinear. Extension of the scalar product to R^n.
Linear Systems
Matrix of coefficients.
What is a solution.
The matrix A as an application R^q ->R^p, which sends X in R^q to the linear combination of the columns of A with coefficients the coordinates of X.
The space of solution is an intersection of hyperplanes.
Gauss operations. They do not change the space of solutions.
Reduction to a triangular matrix by Gauss operations. Free variables and pivots. Examples.
Vector Spaces
Structure of R^n. Definition of vector space, examples: R[x], matrices, function from a set to R, continuous functions on [0,1].
Subspaces. Solutions of an homogenuos linear system as subspace of R^q.
Linear combinations. Linear independence and dependence. W is a subspace of V if and only if it is closed by linear combinations.
Span of a (possibly infinite ) family of vectors.
Basis of a vector space. It is a maximal system of independent vectors and a minimal system of generators.
Completion theorem. Theorem each vector space has a basis. Proof only for finitely generated spaces. The basis is a maximal number of independent vectors among the generators.
Subspaces, finding basis in particular of the space of solution of an homogeneous linear system.
Intersection and sum of subspaces. Grassmann theorem.
Direct sums, supplementary space. As an example W subspace of R^n and its orthogonal .
The action of a matrix with p rows and q columns on R^q.
Linear applications.
Linear applications from R^q to R^p are matrices with p rows and q columns.
Values in W given to a basis of V determines a unique linear application V->W.
Kernel and Image of a linear application.
Linear structure of the set of linear applications V->W.
Dimension theorem. Rank of a linear application. A matrix A and its transpose get the same rank.
Isomorphism between L(V,W) and a space of matrices of suitable size.
Application to linear systems: equations are elements of L(R^q,R) and Gauss operations calculate a basis of the span of equations.
The matrix associated to the identity map V->V.
Product "rows times columns" of t two matrices. It corresponds to the composition of the corresponding maps.
Rules of this product (left and right distributivity, product by a scalar).
Unicity of the invers of a square matrix of maximum rank. Calculation of the inverse matrix with Gauss method.
Inverse of a product, transposed of a product, inverse of the transposed of an invertible matrix.
Theorem: in the space of square nxn not invertible matrices are left and right zero divisors.
Determinants.
The case 2x2.
Requsted properties: it should be linear with respect to rows, vanish if two rows are equal, take the value 1 on the identity matrix.
Consequences of therequested properties: prescribed value on diagonal matrices, or triangular matrices.
Unicity of the determinant
Existence (by Laplace rule on columns).
Laplace rule holds also for rows. Hence A and its tranpose have the same determinant.
Binet theorem.
Endomorphisms of a vector space.
Class of similarity of a square matrix.
The center of GL(n,R).
Eighenvalues and eighenvectors. Characteristic polynomials and its invariance by similarity.
Trace and determinant are invariant by similarity.
Algebraic and geometric multiplicity of an eighenvalue. Diagonalization criterium.
The minimal polynomial. Another diagonalzation criterium.
Triangulation of matrices, nilpotent matrices.
Scalar product and matrices.
Orthogonal matrices and their characterization. The case n=2,n=3. Real and complex eighenvalues of an orthogonal matrices are unimodular.
Decomposition of R^n as a direct sum of invariant subspace of an orthogonal application.
Symetric matrices.
Spectral theorem: A is symetric if and only if R^n has an orthonormal basis of eighenvectors of A.
M.Abate Algebra lineare (o qualsiasi libro di Algebra lineare che copra gli stessi argomenti
Dispense e scritti di esame
http://people.dm.unipi.it/acquistf/didattica/Ingegneria/
Sito delle esercitazioni con collezioni di esercizi, e a cui iscriversi con le credenziali di Ateno per ricevere avvisi
https://elearn.ing.unipi.it/course/view.php?id=1940
M.Abate Algebra lineare (or any other linear algebra book covering the same topics)
Lecture notes and exercises from the past written examinations can be found at
http://people.dm.unipi.it/acquistf/didattica/Ingegneria/
La frequenza e` caldamente consigliata. Chi non puo` frequentare puo` studiare sul libro di testo e sulle dispense in rete.
Sarebbe opportuno frequentare il ricevimento anche su appuntamento via mail.
Isciversi al sito delle esercitazioni per avvisi
https://elearn.ing.unipi.it/course/view.php?id=1940
Consultare il registro dellel lezioni
https://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=3309873::::&ri=8159
Frequence is recommended. If one is not able to attend lessons, it is possible to study text books and lecture notes. It would be important to meet the teachers, fixing appointments by e-mail.
Esame scritto ed orale. E` ammesso all'orale chi prende la sufficienza nella prova scritta. L'orale puo` essere dato anche in un appello successivo entro i limiti dell'anno in corso, cioe` entro l'appello di Settembre.
written and oral examination. A student is admitted to the oral examination if he or she has a sufficient evaluation in his o her written examination. The oral examination can be afforded also in a successive round within September round.
Sito delle esercitzioni
https://elearn.ing.unipi.it/course/view.php?id=1940
