ECTS - University of Pisa
Fornire gli strumenti concettuali e tecnici per l'analisi di problemi ambientali.
Fornire gli strumenti informatici per simulare al calcolatore i modelli visti negli altri moduli e visualizzare i risultati.
Provide mathematical and technical tools for the analysis of environmental phenomena.
Provide computer tools to simulate the models seen in the other courses and visualize the results.
Esame scritto e orale. L'esame si considera superato se lo studente dimostra di essere in possesso delle conoscenze sopra elencate.
Written and oral exam. To pass the exam, the student must demonstrate possessing the "knowledge" items described above.
Saper costruire modelli matematici da utilizzare come strumento di conoscenza e di supporto alle decisioni.
Saper utilizzare Matlab per effettuare semplici calcoli di algebra lineare, risolvere problemi di programmazione lineare, simulare il comportamento di modelli basati su equazioni differenziali, e visualizzare i risultati di tali simulazioni.
Ability to build a mathematical model as an instrument of knowledge and decision support.
Ability to use Matlab to perform simple linear algebra computations, solve linear programming problems, simulate models based on differential equations, and visualize the results of these simulations.
Esame scritto e orale. L'esame si considera superato se lo studente dimostra di essere in possesso delle capacità sopra elencate.
Written and oral exam. To pass the exam, the student must demonstrate possessing the skills described above.
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Strumenti di metodo e di calcolo base della geometria analitica, dell’algebra lineare e dell’analisi matematica di una variabile. In particolare: tutti i contenuti del corso di matematica del primo anno della laurea triennale.
Methodological and computational background with analytic geometry, linear algebra, and calculus. In particular, all the content of the Mathematics course taught in the first year of the corresponding bachelor degree.
Lezioni frontali, laboratorio informatico, e-learning con videolezioni per il terzo modulo su competenze informatiche.
Frontal teaching, computer lab, distance learning with lecture videos for the third part on computer skills.
Primo modulo (3 cfu):
Funzioni di più variabili: norma euclidea, prodotto scalare, derivate parziali, derivate direzionali, differenziabilità, continuità, teorema del differenziale totale. Derivate successive: teorema di Schwarz, funzioni di classe C^k. Matrice Hessiana. Massimi e minimi relativi per funzioni di N variabili. Funzioni vettoriali di una variabile: generalità, continuità, derivabilità, regole di derivazione, integrali vettoriali. Curve in R^N di classe C^1 e C^1 a tratti, lunghezza di una curva. Esempi: grafici di funzioni, curve determinate da una equazione polare. Integrale curvilineo di una funzione. Massimi e minimi vincolati: punti stazionari vincolati, loro caratterizzazione geometrica nel caso di vincoli espressi in forma parametrica e in forma di curva di livello: metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Integrali multipli: significato geometrico e proprietà; insiemi normali, calcolo di integrali doppi e tripli su insiemi normali. Cambiamento di variabili, coordinate polari nel piano e nello spazio, coordinate cilindriche. Integrali impropri in più variabili: densità normale di probabilità di media μ e varianza σ. Criterio di sommabilità per confronto. Superfici regolari in R^3, piano tangente, versore normale, area, integrale superficiale di una funzione. Campi vettoriali: esempi, linee di forza, divergenza, rotore. Integrale curvilineo di un campo vettoriale, campi vettoriali conservativi. Teorema della divergenza e teorema di Stokes.
Secondo modulo (6 cfu):
1) Problemi e modelli. Relazioni esistenti fra i modelli e la realtà. Considerazioni sui linguaggi utilizzabili per descrivere i modelli. Modelli matematici. Concetti introduttivi sulla struttura dei modelli e sulla simulazione.
2) Modelli basati sulla programmazione lineare. Fondamenti di programmazione lineare. Algoritmo del simplesso.
3) Programmazione lineare su grafi. Problemi di flusso su reti. Algoritmi risolutivi per problemi di programmazione lineare su grafi.
4) Equazioni differenziali: generalità. Esempio di modello continuo e del corrispondente modello discreto. Un modello di crescita di una popolazione con tasso di natalità e mortalità costante. Modelli di crescita di una popolazione con tasso di natalità e mortalità dipendenti dal tempo.
Equazioni differenziali a variabili separabili. Discretizzazione. Un modello di crescita di una popolazione in presenza di risorse limitate con tasso di crescita dipendente dalla popolazione. La funzione logistica. Sistemi dinamici. Punti di equilibrio stabile e instabile. Punti di equilibrio asintoticamente stabile. Applicazioni: la funzione logistica in presenza di un tasso di mortalità costante.
5) Equazioni differenziali lineari del secondo ordine. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti omogenee e non omogenee. Sistemi di equazioni differenziali lineari. Applicazioni alle dinamiche di crescita di due popolazioni. Stabilità della soluzione nulla di un sistema lineare. Applicazioni: metodo di linearizzazione per lo studio della stabilità dei punti di equilibrio di un sistema dinamico.
6) Modelli di due popolazioni. I modelli preda-predatore di Lotka-Volterra: studio delle interazioni tra popolazioni di animali e/o di vegetazione coesistenti o in competizione fra di loro. Il modello preda-predatore nella variante di Samuelson. Definizione e analisi della stabilità dei punti di equilibrio.
7) Presentazione ed analisi dei modelli per la descrizione di fenomeni quali la diffusione di inquinanti e la diffusione di epidemie.
Terzo modulo (3 cfu)
1) Sintassi base di Matlab: variabili, script, funzioni; istruzioni if, while, for.
2) Funzioni di gestione di vettori e matrici: indicizzazione con l’operatore “due punti”, length, size, concatenazione di vettori e matrici.
3) Funzioni di algebra lineare: prodotti matrici e vettore, soluzione di sistemi lineari con l’operatore backslash, autovalori con eig().
4) Soluzione di equazioni differenziali e sistemi (problemi ai valori iniziali), tra cui i modelli visti nella seconda parte del corso, con il metodo di Eulero esplicito e con ode45. Grafici quantità/tempo e grafici delle fasi per sistemi 2D.
First part (3 credits):
Multivariate functions: Euclidean norm, scalar product, partial derivatives, directional derivatives, differentiability, continuity, total differential theorem. Repeated derivatives: Schwarz's theorem, C^k functions. Hessian matrix. Relative maxima and minima for multivariate functions. Single-variable vector-valued functions: generalities, continuity, differentiability, differentiation rules, vector integrals. Curves in R^N of class C^1 and piecewise C^1; length of a curve. Examples: graphs, curves with polar equation. Integral of a function on a curve. Constrained maxima and minima: constrained stationary points, geometric characterization for constraints in parametric form and expressed as a level curve: Lagrange multipliers. Multiple integrals: geometric meaning and properties; normal sets; double and triple integrals. Change of variables; polar and cylindric coordinates. Improper multivariate integrals: normal probability density. Improper integrals of oscillating functions. Integrability of |x|^(-a) around the origin. Summability criterion by comparison. Regular surfaces in R^3, tangent plane, normal versor, area, surface integrals. Vector fields: examples, force fields, divergence, rotors. Integral of a vector field on a curve; conservative vector fields.
Second part (6 cfu):
1) Problems and models. Relations between models and real life. Remarks on languages used to describe models. Mathematical models. Introductive concepts on model stuctures and simulation.
2) Models based on linear programming. Basic concepts of linear programming. Simplex algorithm.
3) Linear programming on graphs. Network-flow models. Algoritms for linear programming on graphs.
4) Differential equations: continuos and discrete models. Models for population growth with constant rate of growth. Models for population growth with rate depending on time.
Differential equations with separable variables. Discretization.A model for population growth in the presence of a limited amount of resources. Rate of growth depending on the population. The logistic function. Dynamical systems. Stable and unstable equilibrium points. Applications.
5) Second order differential equations. Linear differential equations with constant coefficients, homogeneous and non homogeneous. Linear and nonlinear systems of differential equations. Applications to the analysis of dynamic growth of two populations. Lotka-Volterra and Samuelson models. Equilibrium points of a dynamical system. Linearization method for the analysis of the stability of the equilibrium points of a dynamical system.
6) Applications to the analysis of pollution and epidemiological models.
Third part (3 cfu)
1) Basic Matlab syntax: variables, scripts, functions; if, while and for instructions.
2) Functions to handle matrices and vectors: indexing with the colon operator, length, size, concatenation
3) Linear algebra functions: matrix and vector products, backslash operator, eig()
4) Solution of differential equations and systems (IVPs), including the models seen in the second part, using the explicit Euler method and ode45. Graphs; phase plots for 2D systems.
http://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=180083::::&ri=5114 (registro delle lezioni)
http://www.dm.unipi.it/~acquistp/ambi.html (fogli delle lezioni, testi d'esame)
Robert A. Adams, Christopher Essex, Calculus: a complete course, Pearson, Toronto 2008 (libro di riferimento)
http://pages.di.unipi.it/mastroeni/#mod (appunti, testi d'esame)
Tutto il materiale del corso si trova anche su
https://polo3.elearning.unipi.it/course/view.php?id=2722
http://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=180083::::&ri=5114 (registro delle lezioni)
http://www.dm.unipi.it/~acquistp/ambi.html (fogli delle lezioni, testi d'esame)
Robert A. Adams, Christopher Essex, Calculus: a complete course, Pearson, Toronto 2008 (libro di riferimento)
http://pages.di.unipi.it/mastroeni/#mod (appunti, testi d'esame)
All the course material is published on
https://polo3.elearning.unipi.it/course/view.php?id=2722
Frequentare, o almeno collegarsi con i siti segnalati. Il modulo di laboratorio informatico è disponibile anche tramite videolezioni e fruibile a distanza.
Attend, or at least check the course website. The computer lab part is available through recorded lectures and students can assist also remotely.
Scritto e orale. E` possibile sostenere separatamente sia lo scritto che l'orale per il primo modulo e per il secondo e terzo. Il voto definitivo e` unico.
Written and oral exam. One can take the exam for the first part separately from the exam for part 2+3. There is a single final vote.
pagina di Paolo Acquistapace relativa al corso:
http://people.dm.unipi.it/~acquistp/ambi.html
Videocorso laboratorio:
https://elearning.di.unipi.it/course/view.php?id=205
prof. Paolo Acquistapace's page on the course:
http://people.dm.unipi.it/~acquistp/ambi.html
Lab course as recorded lectures:
https://elearning.di.unipi.it/course/view.php?id=205
