ECTS - University of Pisa
Scheda programma d'esame
GEOMETRY AND LINEAR ALGEBRA
ALESSANDRO BERARDUCCI
Academic year2020/21
CourseAEROSPACE ENGINEERING
Code164AA
Credits12
PeriodSemester 1 & 2
LanguageItalian

ModulesAreaTypeHoursTeacher(s)
ALGEBRA LINEAREMAT/03LEZIONI60
ALESSANDRO BERARDUCCI unimap
CARLO PETRONIO unimap
GEOMETRIAMAT/03LEZIONI60
ALESSANDRO BERARDUCCI unimap
Obiettivi di apprendimento
Learning outcomes
Conoscenze
  • Teoria elementare degli insiemi e strutture algebriche di gruppo commutativo, anello e campo.
  • Campo dei numeri complessi
  • Metodo eliminazione di Gauss e teorema di Rouché-Capelli.
  • Proprietà strutturali degli spazi vettoriali di dimensione finita, delle applicazioni lineari e dei determinanti.
  • Autovalori, autovettori e diagonalizzabilità di endomorfismi di spazi vettoriali di dimensione finita.
  • Spazio Euclideo standard e procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.
  • Teorema spettrale e delle proprietà delle trasformazioni ortogonali degli spazi Euclidei di dimensione due e tre.
  • Proprietà di rette e piani affini nello spazio Euclideo di dimensione tre.
  • Teorema di Sylvester sulle applicazioni bilineari su spazi vettoriali reali di dimensione finita.
  • Classificazione delle coniche e cenni di quella delle quadriche.
Knowledge
  • Elementary theory of sets, commutative groups, rings and fields.
  • Complex numberr
  • Gauss elimination and Rouché-Capelli's theorem.
  • Structural properties of finite-dimensional vector spaces, linear maps and determinants.
  • Eigenvalues, eigenvectors and diagonalizability of endomorphisms of finite-dimensional vector spaces.
  • Euclidean space and Gram-Schmidt orthonormalization.
  • Spectral theorem and properties of orthogonal transformations of Euclidean spaces of dimension two and three.
  • Properties of affine lines and planes in three-dimensional Euclidean space.
  • Classification of conics and sketch of the classification of quadrics.
Modalità di verifica delle conoscenze

La verifica delle conoscenza verrà effettuata tramite due prove scritte durante il corso e una prova scritta per ogni sessione d'esame.

Assessment criteria of knowledge

The acquisition of knowledge will be verified using two written tests during the lecture period, and one written test for each exam session. 
Capacità
  • Descrivere insiemi e verificare iniettività e suriettività di applicazioni tra di essi.
  • Applicare il principio di induzione.
  • Riconoscere le strutture di gruppo commutativo, anello e campo.
  • Calcolare prodotti e inversi di numeri complessi in rappresentazione algebrica, trigonometrica ed esponenziale. Calcolare radici n-esime.
  • Applicare l'eliminazione di Gauss, discutere sistemi lineari anche dipendenti da un parametro tramite il teorema di Rouché--Capelli.
  • Verificare gli assiomi di spazio vettoriale, calcolare combinazioni lineari, verificare dipendenza e indipendenza lineare. Verificare che un sottoinsieme di uno spazio vettoriale è un sottospazio, determinare insiemi di generatori e basi. Verificare se due sottospazi sono in somma diretta. Applicare la formula di Grassmann.
  • Stabilire se un'applicazione è lineare. Stabilire iniettività e suriettività di un'applicazione lineare. Calcolare dimensioni e basi del nucleo e dell'immagine di un'applicazione lineare. Calcolare le matrici associate ad un'applicazione lineare rispetto a basi diverse. Determinare matrici di cambiamenti di base e saperle usare per calcolare matrici associate ad un'applicazione lineare rispetto a basi diverse
  • Calcolare i determinanti tramite sviluppi per righe e per colonne, tramite la formula di Sarrus e tramite riduzione a scala. Usare i determinanti per calcolare il rango di matrici rettangolari anche dipendenti da parametri, per calcolare l'inversa di una matrice invertibile e per risolvere sistemi lineari tramite la regola di Cramer.
  • Determinare polinomio caratteristico, autovalori con molteplicità algebriche e geometriche, autospazi e diagonalizzabilità di un endomorfismo, anche dipendente da parametri, di uno spazio vettoriale. 
  • Calcolare prodotti scalari, norme, distanze, proiezioni ortogonali, basi di sottospazi ortogonali, angoli e basi ortonormali tramite il procedimento di ortonormalizzazione di Gram--Schmidt.
  • Determinare basi ortonormali di autovettori per matrici simmetriche. Determinare matrici ortogonali che diagonalizzano matrici simmetriche. Riconoscere e studiare trasformazioni ortogonali degli spazi euclidei standard di dimensione due e tre.
  • Riconoscere equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani affini. Determinare giaciture di rette e piani. Determinare equazioni parametriche a partire da equazioni cartesiane e viceversa, sia per rette che per piani. Determinare rette e piani soddisfacenti condizioni di parallelismo, contenimento, ortogonalità, intersezione con rette, piani, vettori o punti. Determinare posizioni reciproche tra due piani, tra un piano e una retta e tra due rette. Saper utilizzare il prodotto vettoriale per gli scopi anzidetti.
  • Verificare che un'applicazione è bilineare e simmetrica, calcolarne la matrice
    rispetto ad una base, stabilire se è degenere. Determinare sottospazi ortogonali e basi
    ortogonali per applicazione bilineari simmetriche anche dipendenti da parametri. Determinare la segnatura di applicazioni bilineari simmetriche anche dipendenti da parametri e delle loro restrizioni a sottospazi anche dipendenti da parametri. Determinare vettori e sottospazi soddisfacenti a condizioni assegnate in relazione ad un'applicazione bilineare simmetrica anche dipendente da parametri.
  • Determinare tipo, equazione canonica ed eventuale decomposizione nell'unione di due rette di una conica anche dipendente da parametri.
Skills
  • Describe sets and verify injectivity and surjectivity of maps between sets.
  • Apply the induction principle.
  • Recognize commutative groups, rings and fields.
  • Compute products and inverses of complex numbers using the algebraic, trigonometric or exponential representation. Compute n-th roots of complex numbers. 
  • Apply Gauss elimination and Rouché-Capelli's theorem to the resolution of linear systems possibly depending on a parameter. 
  • Verify the axioms of a vector space, compute linear combinations, check linear dependence and indepence of vectors. Check whether a subset of a vector space is a subspace, determine sets of generators and bases. Check whether two subspaces are complementary. Apply Grassmann's formula.
  • Establish whether a map is linear. Establish whether a linear map is injective or surjective. Compute dimension and basis of kernel and image of a linear map. Compute the matrix associated to a linear map using different bases. Compute the change-of-basis matrix and use it to compute the matrix associated to a linear map via different bases.
  • Compute determinants via Laplace expansions, Sarrus formula and elementary matrix transformations. Use the determinants to compute the rank of rectangular matrices possibly depending on parameters, to compute the inverse of an invertible matrix and to solve linear systems via the Cramer rule.
  • Compute characteristic polynomial, eigenvalues and their algebraic and geometric multiplicities, eigenspaces, determine whether a vector space endomorphism possibly dependent on a parameter is diagonalizable.
  • Compute scalar products, norms, distances, orthogonal projections, bases of orthogonal subspaces, angles and orthonormal bases via the Gram-Schmidt orthonormalization algorithm.
  • Determine ortonormal bases of eigenvectors of symmetric matrices. Determine orthogonal matrices which diagonlize symmetric matrices. Recognize and study orthogonal transformations of standard euclidean spaces of dimension two and three.
  • Recognize parametric and cartesian equations of affine lines and planes. Determine the direction of affine lines and planes. Determine, for both lines and planes, parametric equations from cartesian equations and vice-versa. Determine lines and planes satisfying conditions of parallelism, inclusion, orthogonality or intersection with lines, planes, vector or points. Establish the reciprocal positions of two planes, a plane and a line and two lines. Use the vector product for the above purposes. 
  • Check whether an application is bilinear and symmetric, compute its matrix with respect to a basis, establish whether it is degenerate. Determine orthogonal subspaces and orthogonal bases with respect to a symmetric bilinear application possibly depending on a parameter. Determine the signature of symmetric blinear applications possibly depending on parameters and the signature of their restrictions to subspaces possibly depending on parameters. Determine vectors and subspaces satisfying conditions formulated in terms of a symmetric bilinear application possibly dependng on parameters.
  • Determine the type, canonical equation and (if existent) decomposition into the union of two lines a conic possibly depending on parameters.
Modalità di verifica delle capacità

Lo studente dovrà dimostrare di sapere risolvere semplici problemi applicando le capacità acquisite.

Assessment criteria of skills

The students will be recquired to solve simple problems using their acquired skills.
Comportamenti

Lo studente potrà acquisire la capacità di valutare la propria preparazione e/o di studiare in gruppo, interagendo con altri studenti.

Behaviors

Students may acquire the ability to evaluate their own knowledge and/or to study in a group, interacting with other students.

Modalità di verifica dei comportamenti

Non saranno effettuate verifiche dei comportamenti.

Assessment criteria of behaviors

There will be no assessment of behaviors.

Prerequisiti (conoscenze iniziali)

Calcolo letterale, risoluzione di equazioni di primo e secondo grado, elementi di geometria analitica nel piano, elementi di geometria euclidea e trigonometria. 
Prerequisites

High school elementary algebra. Elementary analytic geometry in the plane, elementary Euclidean geometry and trigonometry. 
Indicazioni metodologiche
  • lezioni a distanza tramite la piattaforma Microsoft Teams fino a fine emergenza covid-19.  
  • esercitazioni in gruppo nel periodo gennaio-febbraio
  • sito e-learning contenente: comunicazioni e informazioni, dispense del corso con esercizi, scritti degli anni precedenti
  • due compitini di verifica durante l'anno
Teaching methods
  • Up to the end the covid-19 emergency there will be online lectures via the platform Microsoft Teams. 
  • group exercises in January-February
  • e-learning web site with: communications and information, lecture notes with exercises, sample written tests 
  • two written tests during the lecture period
Programma (contenuti dell'insegnamento)

Elementi di teoria degli insiemi e algebra. Operazioni tra insiemi. Insiemi numerici, principio d'induzione. Funzioni. Operazioni, strutture algebriche. Polinomi. Numeri complessi.

Spazi vettoriali. Definizione e esempi. Gli spazi Rn e Cn .  Dipendenza lineare, generatori e basi. Coordinate. Dimensione. Sottospazi vettoriali. Somma, intersezione, formula di Grassmann, somma diretta.

Applicazioni lineari e matrici. Definizioni ed esempi. Nucleo e immagine. Algebra delle matrici. Applicazione lineare associata ad una matrice. Matrice associata ad una applicazione lineare. Cambio di base.

Determinante. Determinante delle matrici quadrate e significato geometrico. Proprietà caratterizzanti. Sviluppo di Laplace. Teorema di Binet e matrice inversa. Rango.

Sistemi lineari e sottospazi affini. Metodo di Gauss. Sistemi omogenei. Teorema di Rouché-Capelli. Regola di Cramer. Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio affine. Rette e piani nello spazio.

Autovalori ed autovettori. Sottospazi invarianti, autovalori, autovettori ed autospazi. Polinomio caratteristico. Esistenza di basi di autovettori e diagonalizzabilità.

Spazi Euclidei reali e complessi. Forme bilineari. Prodotti scalari. Segnatura. Norma, ortogonalità. Prodotto scalare canonico in Rn. Basi ortonormali. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram–Schmidt. Disuguaglianza di Bessel. Isometrie. Matrici ortogonali. Trasformazioni autoaggiunte. Teorema spettrale.

Geometria del piano e dello spazio. Trasformazioni del piano e dello spazio. Isometrie affini, rotazioni, traslazioni, riflessioni. Prodotto vettoriale.

Coniche e quadriche. Definizione e classificazione.

Syllabus

Elements of set theory and algebra. Operations among sets. Sets of numbers, induction. Functions. Operations, algebraic structures. Polynomials. Complex numbers.  

Vector spaces. Definitions and examples. The vector paces Rn and Cn. Linear dependence, generators, bases. Coordinates. Dimension. Subspaces. Sums, intersections, Grassmann formula, direct sums. 

Linear maps and matrices. Definitions and examples. Kernel and image. The algebra of matrices. The linear map assocated to a matrix. The matrix associated to a linear map. Change of basis. 

Determinants. Determinant of a square matrix and its geometric interpretation. Characterizing properties. Laplace method. Theorem of Binet, inverse of a matrix. Rank.

Linear systems and affine subspaces. Gauss elimination. Homogenous systems. The Rouché-Capelli theorem. Cramer's rule. Parametric and Cartesian equations of an affine subspace. Lines and planes in 3-space. 

Eigenvalues and eigenvectors. Invariant subspaces, eigenvalues, eigenvectors and eigenspaces. Characteristic polynomial. Basis of eigenvectors and diagonalizable operators. 

Real and complex Euclidean spaces.  Bilinear forms. Scalar products. Signature. Norm, orthogonality. The standard scalar product on Rn. Orthonormal basis. The Gram-Schmidt orthonormalization algorithm. Bessell inequality. Isometries. Orthogonal matrices. Self-adjoint operators. The spectral theorem. 

Geometry of the plane and of 3-space.  Transformations of the plane and of 3-space. Affine isometries, rotations, translations, reflections. Vector product. 

Conics and Quadrics. Definitions and classification. 

 

 
Bibliografia e materiale didattico

Dispense con esercizi disponibili sul sito e-learning del corso

 
Bibliography

Lecture notes and exercises available on the e-learning web site of the course.

Indicazioni per non frequentanti

Non ci sono indicazioni specifiche per studenti non frequentanti.  
Non-attending students info

There are no specific instructions for students who do not attend the lectures. 
Modalità d'esame

L'esame consiste di una prova scritta ed eventualmente un colloquio orale. Ogni prova scritta è divisa in due parti. La prima parte contiene 6 domande a scelta multipla, deve essere completata in 30 minuti e viene superata se si risponde correttamente ad almeno 4 domande. Il superamento della prima parte di una prova scritta consente, ed è necessario per, l'accesso alla seconda parte. La seconda parte contiene 3 esercizi a risposta articolata e deve essere completata in 2 ore. Ogni prova scritta si considera superata con esito positivo quando viene superata sia la prima che la seconda parte. La votazione di una prova scritta coincide con la votazione riportata nella seconda parte. L'eventuale necessità di un colloquio orale sarà segnalata allo studente insieme al risultato dello scritto.  
Assessment methods

The exam consists of a written test and possibly an interview. Each written test is divided into two parts. The first part of each written test contains 6 multiple choice questions and must be completed in 30 minutes. In order to successfully pass the first part of the test, a student must answer correctly at least 4 questions. If, and only if, a student passes successfully the first part of the test, he can access the second part. The second part of the test consists of 3 problems and must be completed in 2 hours. In order to successfully pass the written test, a student must pass both the first and the second part. The mark obtained in the written test coincides wiht the mark obtained in the second part of the written test. The possible necessity of an interview will be communicated to the student together with the result of the written test.  
Updated: 16/08/2020 10:53