Algebra elementare, gli insiemi numerici, metodo assiomatico, dimostrazioni matematiche. 
Insiemi e funzioni, trigonometria, esponenziali e logaritmi.

• Premiminari.

– Insiemi. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, differenza, prodotto cartesiano. Insieme delle parti.

– Insiemi numerici: N, Z, Q, R, C.

– Funzioni tra insiemi. Funzioni iniettive, surgettive, bigettive, invertibili. Funzione inversa. Grafico di una funzione. Interpretazione grafica di iniettivit`a e surgettivit`a. Immagine e controimmagine di un sottoinsieme tramite una funzione.

– Funzioni e funzioni inverse elementari (valore assoluto, potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e loro inverse). Funzioni pari, dispari, periodiche. Funzioni monotone. Funzioni iperboliche.

– Propriet`a dei numeri reali. Assioma di continuit`a.

– Numeri complessi: forma cartesiana, polare, esponenziale. Coniugio, operazioni algebriche tra numeri complessi, potenze e radici n-esime. Teorema fondamentale dell’algebra e molteplicit`a delle radici di un polinomio. Esponenziale, logaritmo, seno e coseno in ambito complesso.

– Insiemi limitati inferiormente, limitati superiormente, limitati. Massimo e minimo di un sottoinsieme. Maggioranti e minoranti. Estremo inferiore e superiore. Caratterizzazione di inf e sup. – Equazioni, disequazioni e loro interpretazione grafica.

– Principio di induzione. Fattoriale, coefficienti binomiali, binomio di Newton.

• Limiti. – Limite di una successione di numeri reali. – Teorema di unicit`a del limite. Teorema di permanenza del segno. – Teorema del confronto. Teorema dei carabinieri. – Teoremi sul limite della somma, del prodotto per una costante, del prodotto di due successioni, del quoziente. Forme indeterminate. 

-Successioni monotone. Esistenza del limite delle successioni monotone. Successioni limitate. Il numero e.

– Sottosuccessioni. Relazioni tra il limite di una successione e delle relative sottosuccessioni. Uso di sottosuccessioni per mostrare che un certo limite non esiste.

– Definizione di limite di una funzione. Teoremi sui limiti di funzione analoghi a quelli per le successioni: teoremi sulla somma, il prodotto, il quoziente, teorema del confronto e dei carabinieri.

– Limiti notevoli di funzioni.

– Cambio di variabile nei limiti.

– Criterio che lega i limiti di funzioni ai limiti di successioni.

– Linguaggio degli infinitesimi. Definizione e principali propriet`a di o piccolo, O grande, equivalenza asintotica.

– Successioni per ricorrenza.

• Serie.

– Definizione di serie come limite delle somme parziali.

– Condizione necessaria per la convergenza di una serie.

– Serie geometrica, serie armonica generalizzata, serie telescopiche.

– Serie a termini positivi: criterio della radice, del rapporto, del confronto, del confronto asintotico. Casi limite nel confronto asintotico.

– Criterio di Leibnitz (serie a segno alterno) e dell’assoluta convergenza (serie a segno qualunque). – Serie di potenze e raggio di convergenza.

– Serie di Taylor di una qualsiasi funzione derivabile infinite volte in un punto. Definizione di funzione analitica in un intervallo. Analiticit`a delle funzioni elementari.

– Teorema di derivazione e integrazione per serie nel caso delle serie di potenze. Applicazione al calcolo della somma di alcune serie particolari.

• Calcolo differenziale in una variabile.

– Funzioni continue in un punto ed in un insieme. Continuit`a delle funzioni elementari. Continuit`a della composizione di funzioni continue.

– Definizione di massimo e minimo di una funzione su un insieme. Definizione di punto di massimo e punto di minimo (con enfasi sulla differenza tra massimo e punto di massimo).

– Teorema di esistenza degli zeri e teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Immagine di una funzione continua su di un intervallo.

– Definizione di funzione derivabile in un punto. Definizione di funzione differenziabile in un punto. Equivalenza tra le due definizioni. Interpretazione geometrica del rapporto incrementale, della derivata e del differenziale.

– Teoremi algebrici sulle derivate: derivata della somma, del prodotto, del quoziente, della composizione. Calcolo della derivata delle funzioni elementari. Legami tra continuit`a e derivabilit`a in un punto.

– Derivata della funzione inversa. Calcolo della derivata delle funzioni inverse elementari.

– Relazione tra il segno della derivata in un punto e la monotonia. Relazioni tra debole e stretta monotonia in un intervallo e segno della derivata prima nell’intervallo stesso.

– Teoremi sulle funzioni derivabili: Rolle, Cauchy, Lagrange.

– Teorema di de l’Hopital.

– Formula di Taylor con resto di Peano e con resto di Lagrange.

– Studio di funzione locale e globale, e relative applicazioni.

• Calcolo integrale in una variabile. – Integrale di Riemann per funzioni di una variabile limitate su intervalli limitati. Significato geometrico. Partizioni di un intervallo, integrale inferiore e superiore.

– Integrabilit`a delle funzioni monotone e delle funzioni continue. Propriet`a dell’integrale.

– Funzione integrale. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive di una funzione continua. Utilizzo di una primitiva per il calcolo di integrali definiti. Primitive delle funzioni elementari.

– Formula di integrazione per parti. Formula di integrazione per sostituzione.

– Integrazione delle funzioni razionali. Sostituzioni razionalizzanti. Accenno all’interpretazione geometrica delle sostituzioni razionalizzanti.

– Integrali impropri: definizione nei due casi di dominio di integrazione non limitato oppure integranda non limitata.

– Criterio del confronto e del confronto asintotico per lo studio della convergenza di un integrale improprio con integranda a segno costante. Criterio dell’assoluta convergenza per lo studio della convergenza di un integrale improprio con integranda a segno variabile. – Criterio del confronto serie integrali e sua giustificazione geometrica.

• Equazioni differenziali.

– Ordine di una equazione, equazioni in forma normale, equazioni autonome. Esempi di famiglie (dipendenti da parametri) di soluzioni di equazioni differenziali.

– Problema di Cauchy per una equazione di ordine n. Teorema di esistenza e unicit`a. Intervallo massimale di esistenza, tempo di vita.

– Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili. – Equazioni differenziali lineari del primo ordine.

– Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di ordine arbitrario omogenee.

– Equazioni lineari a coefficienti costanti non omogenee. Ricerca euristica di una soluzione “per tentativi”. Metodo di variazione delle costanti.

– Accenno ad un esempio di studio qualitativo della soluzione

Analisi matematica 1 di Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa Zanichelli.

Prova scritta e orale.