ECTS - University of Pisa
Al termine del corso lo studente avra' acquisito una conoscenza dei principali teoremi e strumenti dell'analisi matematica e dell'algebra lineare e la loro applicazione rigorosa nella risoluzione di esercizi collegati. Inoltre potra' illustrare correttamente i contenuti dei risultati sopra attraverso il linguaggio rigoroso proprio della matematica.
Students will be able to evaluate limits and continuity, and compute derivatives, to utilize calculus techniques in order to analyze the properties and sketch graphs of functions. Compute integrals. Solve differential equations. Solve linear systems. Utilize the techniques of differentiation and integration to solve practical problems and to analyze and communicate results.
Per l'accertamento delle conoscenze saranno assegnati materiali contententi anche esercizi e svolte delle prove in itinere.
In the written exam the student must demonstrate his/her ability to solve problems on the topics of the course. During the oral exam the student will be assessed on his/her demonstrated ability to discuss the main course contents using the appropriate terminology.
Methods:
Lo studente alla fine del corso dovra' aver maturato le conoscenze degli strumenti di base dall'analisi matematica e dell'algebra lineare in modo da poter apprendere metodologie successive anche legate al contenuto di altri corsi. Lo studente potrà inoltre acquisire e/o sviluppare un approccio analitico alla formulazione matematica e successiva risoluzione di varie problematiche incontrate nei corsi paralleli o successivi e nel resto della sua carriera scientifica.
Saranno svolte delle esercitazioni settimanali atte ad illustrare allo studente le tecniche di risoluzione di problemi matematici derivanti dalla teoria sviluppata a lezione.
Lo studente potra' sviluppare una adeguata capacita' di astrazione.
Lo svolgimento degli esercizi per casa e la capacita' di risolvere gli stessi mettere in luce se si sono apprese le giuste capacita' di astrazione e contestualmente la capacita' di capire in quali occasioni usare alcuni risultati teorici.
Uso e familiarita' con i contenuti dei programmi di matematica incontrate nei corsi della scuola superiore. In partiocolare lo studente dovra' maneggiare i concetti di base incontrati nelle scuole superiori quali risoluzioni di equazioni, disequazioni contenenti le funzioni elementari ed espresse nella variabile reale x. In particolare lo studente dovra' aver chiare le funzioni esponenziali e trigonometriche e le regole algebriche ad esse collegate.
Il corso si sviluppa attraverso lezioni frontali, materiale didattico collegato alle lezioni a disposizione sul sito web dedicato, ricevimenti studenti dedicati e prove in itinere.
Le lezioni frontali illustreranno i contenuti teorici e nozionistici del corso. Saranno alternate a lezioni dedicate alla risoluzione completa di esercizi svolti sugli argomenti visti a lezione. Altro materiale didattico sara' fornito online. Lo studente dovra' studiare le lezioni svolte in classe con l'aiuto degli appunti e dei testi di riferimento ed esercitarsi da solo a risolvere esercizi e problematiche simili a quelle sviluppate in classe.
Delivery: face to face
Learning activities:
Attendance: Advised
Teaching methods:
Cenni di teoria degli insiemi: unione, intersezione, differenza, prodotto cartesiano. Notazione dei
quantificatori e loro uso nella descrizione di insiemi e nella formulazione di proposizioni. Cenni sui numeri naturali, interi relativi, razionali, reali. Gli insiemi reali rappresentati sulla retta ordinata infinita; ordinamento dei numeri reali e proprietà associate. Rappresentazione sulla retta reale degli insiemi numerici e delle operazioni.
Insiemi limitati su R; maggiorante, minorante; massimo, minimo di un insieme A di R; estremo superiore e inferiore di un insieme A di R. Proprieta’ caratterizzanti.
Numeri complessi: rappresentazione cartesiana e trigonometrica, modulo, argomento, coniugio, radici ennesime di un numero complesso. Polinomi a coefficienti complessi, divisione tra polinomi, radice di un polinomio e sua molteplicita’. Teorema fondamentale dell’algebra.
Funzioni tra insiemi: dominio, immagine, contro-immagine o immagine inversa di insiemi, iniettività , surgettività, funzione inversa, funzione composta, grafico di una funzione. Caso di funzioni reali a valori reali: monotonia, periodicità, parità/disparità.
Funzioni elementari e loro proprietà: potenza, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche e loro inverse, loro rappresentazione grafica. Operazioni naturali su grafici di funzioni reali.
Cenni di topologia, punti di accumulazione per un sottoinsieme A di R. Nozione di limite di f (finito/infinito) per x che tende a x_0 (finito/infinito).
Proprietà dei limiti: regole per somma, prodotto e ‘composizione’, forme di indeterminazione, teoremi di confronto. Limiti notevoli trigonometrici ed esponenziali. Esistenza di limiti destri e sinistri per funzioni monotone.
Nozione di continuità e collegamento con i limiti. Stabilità per somma, prodotto, composizione.
Proprietà globali delle funzioni continue: teorema di Weierstrass, teorema di esistenza degli zeri.
Teoremi sull’immagine di funzioni continue. Teorema dei valori intermedi.
Definizione di derivata e sua interpretazione geometrica. Regole di calcolo delle derivate, derivate delle funzioni elementari. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange. Applicazioni delle derivate allo studio della monotonia, dei massimi e minimi e della convessità delle funzioni. Studio del grafico di una funzione, asintoti orizzontali, verticali ed obliqui. Teorema di De L’Hopital, formula di Taylor.
Applicazioni al calcolo di limiti.
Integrale secondo Riemann di f. Classi di funzioni integrabili. Integrale come area del sottografico per f positive. Proprietà dell’integrale, teorema della media integrale. Integrale indefinito di f e nozione di primitiva di f. Funzione integrale e teorema fondamentale del calcolo integrale. Suo utilizzo nel calcolo di integrali. Integrazione delle funzioni razionali, integrazione per parti e per sostituzione. Integrali generalizzati. Cenni sul calcolo di volumi.
Equazioni differenziali del primo ordine: problema di Cauchy, teoremi di esistenza, spazio delle soluzioni per equazioni lineari. Equazioni a variabili separabili e di Bernoulli.
Coordinate cartesiane in R^n. Nozione di prodotto scalare tra vettori e ortogonalità, distanza. Rette nel piano e nello spazio, parallelismo e perpendicolarità tra rette e piani. Nozione di spazio vettoriale, vettori linearmente indipendenti, sistemi di generatori, basi, dimensione di uno spazio vettoriale. Nozione di sottospazio vettoriale ed esempi. Lo spazio vettoriale delle matrici mxn, prodotto righe per colonne. Operazioni elementari per riga, riduzione a scalini di una matrice, rango. Determinante di una matrice nxn e sue proprietà, inversa di una matrice nxn. Collegamento con la risoluzione di sistemi lineari: Teorema di Rouché-Capelli, metodo di eliminazione di Gauss.
Autovalori ed autovettori per matrici quadrate, polinomio caratteristico e polinomio minimo, cenni alla diagonalizzazione.
Cenni di calcolo combinatorio:fattoriale, binomio di Newton, combinazioni, disposizioni,
permutazioni di insiemi di n elementi. Cenni di probabilità discreta.
Arithmetic and basic Algebra: sets, integers, rationals and complex numbers , polynomials, functions. Linear Algebra: linear systems, eigenvalues and eigenvectors, vector spaces, linear maps. Univariate real functions: limits and continuity, derivatives, integration. Differential equations.
Il materiale didattico verrà completato da dispense fornite durante il corso o reperibili online.
Il materiale didattico verrà completato da dispense fornite durante il corso o reperibili online.
Nessuna
L'esame consta di una parte scritta e di una parte orale a cui si accede solo dopo aver superato lo scritto. La parte scritta e' dedicata alla comprensione e risoluzione di quesiti/esercizi, la parte orale richiedera' inoltre l'illustrazione corretta e rigorosa dei risultati teorici visti a lezione insieme alle loro applicazioni.
